El título de este artículo corresponde al cuento corto Paul Bunyan versus the conveyor belt del escritor norteamericano William Hazlett Upson (1891-1975). Vamos a reproducirlo al completo, analizando las propiedades de las sucesivas transformaciones de la cinta transportadora a la que se refiere el título.

Esta cinta transportadora es una banda de Möbius

Uno de los éxitos más brillantes de Paul Bunyan no se debió a un pensamiento brillante, sino a su cautela y cuidado. Fue el famoso asunto de la cinta transportadora.

Paul y su mecánico, Ford Fordsen, habían empezado a trabajar en una mina de uranio en Colorado. El mineral se extraía a través de una cinta sin fin que recorría media milla entrando en la mina y otra media milla saliendo, lo que daba una longitud total de una milla. Tenía cuatro pies de ancho. Se movía sobre una serie de rodillos y era impulsada por una polea montada en la transmisión del gran camión azul de Paul, «Babe». Los fabricantes de la correa la habían hecho de una sola pieza, sin empalmes ni cordones, y habían puesto una media vuelta en la parte de retorno para que el desgaste fuera el mismo en ambos lados.

Por la descripción de esta cinta transportadora, vemos que se trata de una cinta de Möbius. Esta denominación de “cinta sin fin” es la que el artista suizo Max Bill (1908-1994) utilizó para nombrar sus magníficas esculturas en forma de banda de Möbius: “Unendliche Schleife”.

Aunque se alude a que “el desgaste fuera el mismo en ambos lados”, recordemos que una banda de Möbius solo posee una cara. La ventaja de la cinta transportadora del cuento es que duraría más (el doble) que una cilíndrica de la misma longitud y anchura. En efecto, el lado interior de una cinta cilíndrica no se usaría, y por lo tanto no se desgastaría.

Tras varios meses de funcionamiento, la galería de la mina era el doble de larga, pero la cantidad de material que salía era menor. Paul decidió que necesitaba una cinta el doble de larga y la mitad de ancha. Le dijo a Ford Fordsen que cogiera su motosierra y cortara la cinta en dos a lo largo.

“Así tendremos dos correas”, dijo Ford Fordsen. “Tendremos que cortarlas en dos transversalmente y unirlas. Eso significa que tendré que ir a la ciudad a comprar los materiales para dos empalmes”.

“No”, dijo Paul. Esta cinta tiene una media torsión, lo que en geometría se conoce como banda de Möbius«.

“¿Qué más da?», preguntó Ford Fordsen.

“Una banda de Möbius, dijo Paul Bunyan, sólo tiene un lado y un borde, y si la cortamos en dos longitudinalmente, seguirá siendo de una sola pieza. Tendremos una cinta el doble de larga y la mitad de ancha”.

“¿Cómo se puede cortar algo en dos y que siga siendo de una pieza?», preguntó Ford Fordsen.

Paul era modesto. Nunca fue obstinado. “Vamos a probarlo», dijo.

Entraron en el despacho de Paul. Paul cogió una tira de papel engomado de unas dos pulgadas de ancho y una yarda de largo. La colocó sobre el escritorio con el lado engomado hacia arriba. Levantó los dos extremos y los juntó delante de él con los lados engomados hacia abajo. Luego dio la vuelta a uno de los extremos, lo lamió, lo deslizó bajo el otro extremo y pegó los dos lados engomados. Se había hecho una cinta de papel sin fin con una media vuelta, igual que la cinta grande del transportador.

“Esto», dijo Paul, «es una banda de Möbius. Funcionará tal y como he dicho, eso espero».

Paul cogió unas tijeras, clavó la punta en el centro del papel y cortó la tira en dos a lo largo. Cuando terminó, tenía una tira el doble de larga, la mitad de ancha y con una doble torsión.

En efecto, cuando se corta una cinta de Möbius longitudinalmente por la mitad, se obtiene una nueva cinta, pero no es de Möbius sino cilíndrica; basta con comprobar que posee dos caras. Como indica Upson, posee una doble torsión que corresponde a la suma de las dos “medias vueltas” de la mitad superior y la mitad inferior de la cinta original.

De este modo, Paul consigue una cinta el doble de larga para llegar al material más alejado de la mina. Pero posee dos caras, así que uno de los lados quedará inutilizado… No es la solución óptima.

Dos apuestas ruinosas

Ford Fordsen quedó convencido. Salió y empezó a cortar la cinta grande en dos. Y, en ese momento, llegó un hombre llamado Loud Mouth Johnson para ver cómo iba la empresa de Paul, y para ofrecer cualquier crítica destructiva que se le ocurriera. Loud Mouth Johnson, que era el fanfarrón público número uno, encontró muchos motivos de queja.

“Si cortas esa cinta en dos a lo largo, tendrás dos cintas, cada una de la misma longitud que la cinta original, pero sólo la mitad de ancha».

“No», dijo Ford Fordsen, «ésta es una cinta muy especial conocida como banda de Möbius. Si la corto en dos longitudinalmente, obtendré una cinta el doble de larga y la mitad de ancha».

“¿Quieres apostar?», dijo Loud Mouth Johnson. “Claro», dijo Ford Fordsen.

Apostaron mil dólares. Y, por supuesto, ganó Ford Fordsen. Loud Mouth Johnson quedó tan asombrado que se escabulló y permaneció alejado durante seis meses.

Al cabo de algún tiempo, la mina se hizo más profunda y no quedó más remedio que volver a cortar la cinta transportadora…

Cuando finalmente regresó, encontró a Paul Bunyan empezando a cortar el cinturón en dos a lo largo por segunda vez.

“¿Cuál es la idea?», preguntó Loud Mouth Johnson.

Paul Bunyan respondió: «El túnel ha avanzado mucho más y el material que sale no es tan voluminoso como antes. Así que estoy alargando de nuevo la cinta y haciéndola más estrecha”.

¿Dónde está Ford Fordsen?

Paul Bunyan dijo: «Le he enviado a la ciudad a por materiales para empalmar la cinta. Cuando termine de cortarla en dos a lo largo, tendré dos cinturones de la misma longitud, pero sólo la mitad de ancho que éste. Así que tendré que hacer algunos empalmes».

Loud Mouth Johnson apenas podía creer lo que oía. Aquí tenía la oportunidad de recuperar sus mil dólares y dejar en evidencia a Paul Bunyan como un bobo más. Escucha, dijo Loud Mouth Johnson, cuando acabes sólo te quedará una cinta el doble de larga y la mitad de ancha».

¿Quieres apostar?

Claro.

Así que apostaron mil dólares y, por supuesto, Loud Mouth Johnson volvió a perder. No es que Paul Bunyan fuera brillante. Es que era metódico. Lo había probado con aquella tira de papel engomado, y sabía que la segunda vez que cortas una banda de Möbius obtienes dos piezas, unidas entre sí como una cadena de reloj antigua.

Recordemos que, tras el primer corte, la cinta era cilíndrica, y al dividir un cilindro en dos longitudinalmente, se obtienen dos cilindros. En este caso, esos cilindros están enlazados porque la cinta posee (en este momento) dos semigiros. Para comprobarlo, lo mejor es repetir el experimento de Paul y contar cuantas caras tiene cada una de estas piezas.

En realidad, Paul no ha usado la mejor estrategia posible. En ambas ocasiones debería haber cortado la cinta transversalmente para obtener un rectángulo, después debería haber cortado este rectángulo longitudinalmente por la mitad y, finalmente, debería haber soldado los dos lados más cortos tras aplicar en uno de ellos una semivuelta. Así, habrían conseguido una cinta el doble de larga y que seguiría siendo de Möbius. Es decir, su única cara serviría para transportar el material de la mina, y duraría más…

Nota final

Las cintas transportadoras de Möbius se utilizan realmente. En 1957, James O. Trinkle, obtuvo la patente estadounidense 2,784,834 por una transportadora para material caliente. Trinkle trabajaba en la empresa BF Goodrich e inventó esta cinta de Möbius para transportar cenizas o arena de fundición… y se construyó.

Referencias

• Paul Bunyan versus the Conveyor Belt, The Open University
• Hazlett W. Upson, Paul Bunyan versus the conveyor belt, John Murray Publishers, 1960

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad