Arte Moebius (I)

Matemoción

A lo largo de algunas entradas de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica hemos mostrado ejemplos de cómo las matemáticas han sido, y son, tanto una fuente de inspiración para el arte –en especial para el arte contemporáneo–, como una herramienta en el proceso creativo del artista. Algunos ejemplos para el caso de las artes plásticas pueden encontrarse en las siguientes entradas:

Cuadrados latinos, matemáticas y arte abstracto

Hipercubo, visualizando la cuarta dimensión

Bernar Venet, la estética de las matemáticas

El teorema de Pitágoras en el arte

El poema de los números primos

La geometría poética del cubo

El arte contemporáneo que mira al tangram

E incluimos más entradas en la misma línea en la bibliografía de esta. Aunque estos son solamente una pequeña cantidad de ejemplos de la profunda e interesante interacción entre las matemáticas y las artes plásticas.

Triángulo de Morley (1969), de Crockett Johnson. Imagen de la página web de The National Museum of American History

En la presente entrada vamos a centrar nuestra atención en uno de los objetos más interesantes e inspiradores de la geometría y la topología, la banda de Moebius. No es la primera vez que se habla de este objeto geométrico en relación al arte en el Cuaderno de Cultura Científica, ya que se han dedicado algunas entradas a su presencia en la novela gráfica (De menú para hoy dos novelas gráficas negras con salsa matemática y Guía matemática para el cómic Promethea), en la poesía (Poesía retorcida sobre banda de Mobius) o en la literatura (Cuatro leyes consumadas siguiendo una banda de Mobius). Y para conocer más ejemplos se puede consultar el artículo de Marta Macho, Listing, Möbius y su banda o el libro de Clifford Pickover, The Möbius strip (2006). Aunque en la serie de entradas que iniciamos aquí, vamos a mostrar una pequeña colección de ejemplos de su presencia en las artes plásticas, y en especial, en la escultura.

La banda de Moebius es una superficie “topológica” (véase la entrada La topología modifica la trayectoria de los peces) que fue descubierta, de forma independiente, por los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing (1808-1882) y August Ferdinand Moebius (1790-1868). Es decir, es un objeto matemático, pero que también podemos observar y entender en nuestra vida cotidiana.

Grabado del matemático alemán August Ferdinand Moebius, realizado por Adolf Neumann alrededor de 1850. Imagen de Wikimedia Commons

Las superficies que vemos a nuestro alrededor, como una hoja de papel, un canutillo de cartón o una pelota, tienen dos caras, sin embargo, aunque pueda parecer sorprendente existen superficies que solamente poseen una única cara, como la cinta de Moebius.

Para construir esta superficie, la banda de Moebius, de una forma sencilla y cotidiana solamente se necesita una tira de papel y cinta adhesiva. Por ejemplo, puede cogerse una hoja de papel DIN A4 y cortar a lo largo una tira de unos 2 o 3 centímetros de anchura. Si juntamos los extremos de la tira de papel y los pegamos con la cinta adhesiva, se obtiene una banda normal, con dos caras, la interior y la exterior, que podríamos pintarlas de dos colores distintos. Pero además tiene dos bordes, “el de arriba y el de abajo”.

Pero, si cogemos una nueva tira de papel y antes de juntar los extremos, como hemos hecho antes, giramos uno de ellos media vuelta y después los pegamos, la superficie que se obtiene es una banda retorcida, la superficie de Moebius.

Podemos intentar comprobar experimentalmente cuántas caras tiene esta nueva superficie, para lo cual se va a utilizar un rotulador. Se empieza pintando la tira de papel retorcida en un punto dado y se continúa pintando en una cierta dirección hasta llegar al punto por el que habíamos empezado. Y descubriremos que está pintada toda la banda, luego solo tiene una cara, ya que para pintarla entera solo se utiliza un color.

Pero hay más sorpresas, si ahora tomamos otro rotulador y vamos recorriendo el borde de la banda de Moebius, veremos que cuando regresemos al punto inicial habremos recorrido todo el borde, es decir, ¡la banda de Moebius tiene un único borde!

Esta superficie tiene insólitas propiedades. Veamos una de ellas en el siguiente experimento que podéis realizar en casa. La cuestión que nos planteamos en este experimento es la siguiente: ¿Qué ocurre si cortamos la cinta de una sola cara por la mitad (con un corte longitudinal)?

Si cortásemos longitudinalmente una banda normal y corriente por la mitad, lo que se obtienen son dos bandas normales de igual longitud, pero más estrechas que la original. Mientras que si se realiza un corte longitudinal a una banda de Moebius lo que ocurre es que se tiene una única banda retorcida de doble de longitud que la banda de Moebius original.

Aunque la cuestión ahora es qué tipo de superficie es la que se ha generado, si será como una cita de Moebius o como una banda normal. O, dicho de otra manera, nos preguntamos cuántas caras tiene. Si utilizásemos de nuevo el rotulador podríamos observar que tiene dos caras y dos bordes, luego no es una banda del tipo de la de Moebius, sino una “banda normal retorcida” (es decir, si partimos de una tira de papel, se ha dado una vuelta entera a la tira antes de pegar los extremos).

Todas estas primeras cuestiones pueden verse en el en el video de la sección Una de mates, del programa de humor y ciencia de televisión, dirigido por José A. Pérez Ledo, Orbita Laika (primera temporada) de La2, de Televisión Española: La banda de Moebius.

Imagen de la patente US2.479.929, del inventor Owen H. Harris, de una correa abrasiva que, en lugar de tener la forma de una banda normal, tiene la forma de una banda de Moebius, para duplicar la zona de abrasión

Las extraordinarias propiedades de la superficie de Moebius, que solo tenga una cara y un borde, han cautivado no solo a personas del mundo de la ciencia y las matemáticas, sino también del arte. Por ejemplo, el director de cine, actor y escritor norteamericano Woody Allen, en su cuento El sol no sale para todos del libro Pura Anarquía (2007), escribía:

Deseoso de captar su atención, me había propuesto levantar en dos tiempos una barra equivalente en peso a un par de Steinways cuando de pronto mi columna vertebral adoptó la forma de una banda de Möbius, y buena parte de mi cartílago se separó audiblemente.

En particular, esta superficie ha cautivado a muchas personas del ámbito de las artes plásticas, con una especial incidencia en el mundo de la escultura, como veremos en esta serie de entradas.

Sin ninguna duda, el artista que más se relaciona con la banda de Moebius es el artista suizo Max Bill (1908-1994), uno de los máximos representantes del denominado arte concreto y miembro del grupo Abstracción-Creación (véase El teorema de Pitágoras en el arte para ver otras obras de Max Bill relacionadas con las matemáticas).

Como cuenta mi compañera y amiga Marta Macho en el artículo Listing, Mobius y su banda, en 1935 Max Bill estaba trabajando “en distintas posibilidades estéticas para una escultura colgante, cuando creó un objeto de una sola cara al que llamó Unendliche Schleife (cinta sin fin), sin ser consciente de que tales superficies se conocían desde hacía un siglo. Se comenta que sintió tal frustración al saber que él no había sido el inventor de esta forma, que pasó una larga temporada sin trabajar sobre ella”.

En cualquier caso, Max Bill diseñó y realizó hermosas esculturas con esta superficie sin fin y gracias a él fue ampliamente conocida en el mundo del arte. Veamos dos de estas esculturas de Max Bill.

Cinta sin fin (1953, original de 1935), de Max Bill. Museo de Arte de Baltimore
Giro sin fin (1953-1956), de Max Bill. Museo de Amberes

Tanto la obra artística de Max Bill, como su filosofía del arte, han tenido una gran influencia en el arte contemporáneo.

Uno de los artistas vascos contemporáneos por el que siento una gran admiración y en el que se puede apreciar una clara influenciada de la obra de Max Bill, de hecho, también se ha interesado por la banda de Moebius, es el artista navarro José Ramón Anda. Como comentamos en la entrada La geometría poética del cubo, dentro del arte de José Ramón Anda, una de las figuras fundamentales de la escultura vasca contemporánea, conviven dos grandes corrientes artísticas como son la abstracción geométrica, con una fuerte influencia del arte concreto, y la escultura orgánica, en la cual la naturaleza y sus formas, en particular, la madera, como material e inspiración, reivindican su importancia.

En sus primeros años, el escultor navarro realizó dos esculturas con cintas sin fin, realizadas en madera de roble, Dos cintas sin fin (1975, roble) y Cintas macladas triangulares (1975, roble).

Dos cintas sin fin (1975), de José Ramón Anda, realizada en madera de roble. Imagen de la página web de José Ramón Anda

En la magnífica exposición la exposición LANTEGI, José Ramón Anda, que tuvo lugar en la sala Kubo Kutxa de Donostia-San Sebastián, desde el 23 de mayo al 25 de agosto de 2019, pudimos observar una nueva escultura con una banda de Moebius.

Otro artista influenciado por el trabajo escultórico de Max Bill fue el artista británico John Robinson (1935-2007). En la década de los años 70, tras haber estado trabajando en escultura figurativa, empezó a realizar esculturas simbólicas abstractas con inspiración matemática. Entre los temas matemáticos con los que trabaja están los anillos de Borromeo (véase su definición en la Wikipedia), la teoría de nudos (puede leerse sobre nudos en las entradas La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos y Del nudo gordiano al nudo de los enamorados por territorio matemático), los nudos tóricos (recordemos que en matemáticas un “toro” es la superficie que tiene la forma de un flotador), los fractales (véase Fractus, arte y matemáticas) o la banda de Moebius. Pueden verse muchas de sus obras simbólicas abstractas en la página del artista en la Fundación Bradshaw.

Una de sus obras simbólicas más emblemáticas es Inmortalidad (1982), que es una banda de Moebius con forma de nudo de trébol, realizada en bronce.

Inmortalidad (1990), de John Robinson, realizada en bronce y acero. Propiedad del departamento de matemáticas de la Universidad de Bangor (Gales). Imagen de ArtUK

Otra serie de sugerentes y hermosas esculturas con la idea de la superficie de una sola cara es la formada por obras como Seres dependientes (1980, bronce pulido y patinado) o Eternidad (1980, bronce pulido). Si pensamos en la obra Seres dependientes, podemos entender su estructura de dos formas distintas. La primera sería pensar en una banda de Moebius, como la que hemos construido con una tira de papel, pero en lugar de tener un grosor de 0,1 milímetros –que es más o menos el grosor de una hoja de papel–, que tenga un grosor del mismo ancho del papel, de unos 2 o 3 centímetros. Ahora el borde se convierte en otra banda de Moebius, de forma que la escultura posee dos cintas sin fin “entrelazadas”. Como decía el propio escultor, en relación a Seres dependientes (escultura del Centre de Recerca Matemàtica, de Barcelona): “el hombre y la mujer entrelazados para formar un solo Ser”.

Seres dependientes (1980), de John Robinson, realizada en bronce pulido y patinado, perteneciente al Centre de Recerca Matemàtica, de Barcelona)

Pero esta escultura la podemos entender también de otra forma. Si nos fijamos, la sección de la escultura es más o menos un cuadrado, luego puede entenderse la figura geométrica de estas esculturas como considerar un prisma cuadrado largo y flexible, retorcerlo media vuelta y unir los extremos.

Por otra parte, la escultura Eternidad (1980), que realizó después de Seres dependientes (1980), está realizada con una sección triangular, en lugar de cuadrada. Es decir, sería como considerar un prisma triangular largo y flexible, retorcerlo un tercio de vuelta –120 grados– para que vaya lado con lado y unir los extremos. De esta forma se genera una única superficie de tipo Moebius, de una sola cara.

Eternidad (1980), de John Robinson, realizada en bronce pulido. La escultura está en la plaza Pietre de Camberra, Australia
Detalle de la realización de la escultura Eternidad (1980), de John Robinson, utilizando 100 triángulos equiláteros

En la página del artista en la Fundación Bradshaw se pueden encontrar gifs de estas y otras esculturas de John Robinson.

La siguiente serie de esculturas de cintas si fin la descubrí por casualidad. Estaba viendo la película de intriga estadounidense Un pequeño favor (2018), dirigida por Paul Feig, el creador de la serie Freaks and Geeks (1999), e interpretada por Anna Kendrick y Blake Lively. En una de las escenas aparece una escultura en la entrada de una casa, como se ve en la siguiente imagen, y rápidamente me puse a averiguar de quien era esa escultura. Su autor es el artista británico Jeremy Guy, en cuya página web pueden verse muchas de sus esculturas.

Escena de la película Un pequeño favor (2018), dirigida por Paul Feig, en la que se ve la escultura Mobius H3, del escultor inglés Jeremy Guy. Imagen de la página web del escultor

Dentro de esa serie de obras está por ejemplo Mobius H12, realizada en granito negro, que el artista inglés realizó para el centro comercial Ion Orchard de Singapur.

Mobius H12, del escultor inglés Jeremy Guy. Imagen de la página web del escultor

Muchas otras obras del artista Jeremy Guy utilizan esta superficie de una sola cara, aunque muchas de ellas utilizando una idea similar, aunque más plástica, a la construcción de la escultura Seres dependientes de John Robinson, como la escultura Overtura o la serie Zephyr, todas ellas realizadas en granito negro.

Overtura, del escultor inglés Jeremy Guy, que aparece en la imagen junto a su obra. Imagen de la página web del escultor

Mientras preparaba esta entrada, he descubierto una obra muy singular, se trata del mosaico Banda de Moebius, que se encuentra en el edificio del Central Economic Mathematical Institute de la Academia Rusa de Ciencias, en Moscú, y que se conoce con el nombre “Casa con oreja”.

Escultura Banda de Moebius, de los artistas Vladimir Vasiltsov y Eleonora Zharenova, en el edificio del Central Economic Mathematical Institute (CEMI) de la Academia Rusa de Ciencias, de Moscú, realizado por el arquitecto Leonid Pavlov en 1978. Imagen de GreyScape

Otra escultura que se encuentra en la capital rusa y que toma como estructura la banda de Moebius es la escultura pública Banda de Möbius (1972), del escultor ruso Andrey Zakhidovich Nalich. La escultura es una superficie de Moebius, pero no es una superficie lisa, sino que toma la forma del cuerpo de una mujer. Además, en su base está escrito “Diferentes puntos de vista sobre un tema”.

Banda de Möbius (1972), del escultor ruso Andrey Zakhidovich Nalich, situada cerca del cine Horizon en Komsomolsky Prospekt, Moscú. Imagen de Another City

Una tercera escultura en Moscú es El árbol de la vida (1956-1998) del escultor ruso-americano Ernst Neizvestny (1925-2016), realizado con varias copias de cintas de Moebius, cuyo conjunto tiene la forma de un corazón humano. La escultura, que se gún su autor, es “una celebración del alma humana y el conocimiento”, está compuesto de cientos de imágenes de “personajes” históricos, como Adán y Eva, Jesús, Buda o Yuri Gagarin.

El árbol de la vida (1956-1998), del escultor ruso-americano Ernst Neizvestny, que se encuentra en el centro comercial Bragation de Moscú. Imagen de Other Moscow-LiveJournal

La artista multidisciplinaria japonesa Mariko Mori también ha utilizado la superficie de Moebius para la realización de diseños y esculturas. Por ejemplo, diseñó una banda de Moebius para el escenario de la representación de la opera Madame Butterfly de Puccini.

Enorme banda de Moebius sobre el escenario del Teatro La Fenice en Venecia, para la representación de la opera Madame Butterfly de Puccini. Imagen de Factum Arte

Así mismo ha realizado esculturas basadas en las formas de Moebius, como algunas de las obras de la exposición Cyclicscape (Sean Kelly Gallery, 2015).

Tres obras de la artista japonesa Mariko Mori, pertenecientes a la exposición Cyclicscape (Sean Kelly Gallery, 2015), basadas en la banda de Moebius. Imagen de la Sean Kelly Gallery
Ekpyrotic String II (2014), de la artista japonesa Mariko Mori, perteneciente a la exposición Cyclicscape (Sean Kelly Gallery, 2015), basada en la banda de Moebius. Imagen de la Sean Kelly Gallery

Para terminar una curiosa escultura, realizada con pequeños coches de juguete, Circunvalación de Moebius (2012), del artista estadounidense Chambliss Giobbi, cuya estructura es la misma que la de la obra Seres dependientes de John Robinson, es decir, un prisma cuadrado rotado media vuelta y pegado por los extremos generando una doble banda de Moebius.

Circunvalación de Moebius (2012), del artista estadounidense Chambliss Giobbi. Imagen de la página web de Chambliss Giobbi

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Cultura pitagórica: arte, Cuaderno de Cultura Científica, 2013.

2.- Raúl Ibáñez, El cubo soma: diseño, arte y matemáticas, Cuaderno de Cultura Científica, 2014.

3.- Raúl Ibáñez, Hipercubo, visualizando la cuarta dimensión (y 2), Cuaderno de Cultura Científica, 2015.

4.- Raúl Ibáñez, Catenarias en las artes plásticas, Cuaderno de Cultura Científica, 2016.

5.- Raúl Ibáñez, Artistas que miran a las matemáticas, Cuaderno de Cultura Científica, 2017.

6.- Raúl Ibáñez, Variaciones artísticas del teorema de Napoleón, Cuaderno de Cultura Científica, 2018.

7.- Raúl Ibáñez, El poema de los números primos (2), Cuaderno de Cultura Científica, 2019.

8.- Raúl Ibáñez, Los ritmos primos de Anthony Hill, Cuaderno de Cultura Científica, 2019.

9.- Raúl Ibáñez, La geometría poética del cubo (2), Cuaderno de Cultura Científica, 2019.

10.- Raúl Ibáñez, Fractus, arte y matemáticas, Cuaderno de Cultura Científica, 2020.

11.- Raúl Ibáñez, La cuarta dimensión, ¿es nuestro universo la sombra de otro?, RBA libros, 2011.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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