Del nudo gordiano al nudo de los enamorados, por territorio matemático

Según cuenta la leyenda, mientras Alejandro Magno (356 – 323 a.c.), rey de Macedonia y de los griegos, se encontraba conquistando el Imperio Persa, llegó a Gordion, capital del reino de Frigia, que formaba parte del Imperio Persa. El nombre de la capital se debía a su rey Gordio (padre del rey Midas, el que transformaba en oro todo lo que tocaba). Parece ser que en el templo de Zeus, situado en la acrópolis de Gordion, se encontraba un carro que estaba atado a un yugo mediante un complicadísimo nudo. Según las creencias de Frigia, un antiguo oráculo estableció que aquel que consiguiese deshacer el nudo se convertiría en el Rey de Frigia, y se le abrirían las puertas de toda Asia.

Alejandro Magno se vio atraído por la leyenda e intentó beneficiarse de las creencias locales desatando el nudo gordiano, sin embargo, este era muy intrincado y se le resistía. Por este motivo, el general mecedonio tomó una solución radical, sacó su espada y con ella cortó el nudo. Se cuenta que esa noche hubo una gran tormenta de rayos, lo que se interpretó como que el propio dios Zeus estaba de acuerdo con aquella solución, y Alejandro afirmó que “¡Es lo mismo cortarlo que desatarlo!” Por cierto, en once años Alejandro Magno conquistó todo el oriente… su imperio se extendió desde Grecia y Egipto hasta el valle del rio Indo.

“Alejandro cortando el nudo gordiano”, de Jean-Simon Berthélemy (1743–1811). Wikimedia

El lema de Fernando el Católico “Tanto monta” hace referencia a esta leyenda, “lo mismo da [tanto monta] cortarlo que desatarlo”, por eso está asociado a un yugo y a un nudo cortado, que aparecerán después en el escudo, junto a las flechas.

Yugo y nudo gordiano cortado, con el lema “tanto monta”, como emblema de Fernando II de Aragón en la techumbre de una de las estancias del palacio de los Reyes Católicos de la Aljafería de Zaragoza, 1488-1492. Wikimedia

La expresión “nudo gordiano” acabó incorporándose al lenguaje ordinario como una metáfora de un problema irresoluble, deshacer un nudo “imposible”, y que en ocasiones puede superarse cambiando el marco de pensamiento. En consecuencia, esta expresión también aparece reflejada en la literatura. Un ejemplo es La vida de Enrique V (1600), de William Shakespeare. Hablando Canterbury del rey dirá…

CANTERBURY:

Basta oírlo razonar en teología para que,

lleno de admiración, uno desee en lo profundo

que el rey se convierta en prelado;

basta oírlo discutir asuntos de bien común

para afirmar que nunca estudió otra cosa;

escucharlo hablar de guerra es como oír

una batalla temible vuelta música;

si pasa a cualquier cuestión política,

desatará el nudo gordiano con tanta facilidad

como su jarretera: porque cuando habla,

el aire, ese libertino leve, permanece inmóvil,

y el mudo asombro acecha en los oídos de los hombres

para captar sus frases dulces e impregnadas de miel…

O también se menciona en un par de ocasiones en Segunda parte del ingenioso caballero don Quijote de la Mancha (1615), de Miguel de Cervantes.

Portada del disco “Gordian Knot” (1999) del grupo de rock progresivo del mismo nombre

En mi anterior entrada del Cuaderno de Cultura Científica, La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos, habíamos explicado qué es la teoría de nudos y que su principal problema es la clasificación topológica de los nudos, el cual incluye el problema de reconocimiento, es decir, determinar cuándo dos nudos son equivalentes (iguales desde el punto de vista topológico), para lo cual se introducen diferentes invariantes de los nudos.

Recordemos que los invariantes son objetos (por ejemplo, un número, un polinomio o un grupo algebraico) o propiedades (como la tricoloreabilidad) de un nudo, que tienen el mismo valor para todos los nudos equivalentes. En consecuencia, si un invariante es distinto para dos nudos, estos no pueden ser equivalentes. En la entrada La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos se vieron algunos ejemplos de invariantes de los nudos, como la quiralidad, la tricoloreabilidad y el número mínimo de cruces.

En esta entrada de la sección Matemoción Cuaderno de Cultura Científica se van a analizar otros dos invariantes de la teoría de nudos, el número gordiano y el índice poligonal. El primero tiene que ver con la historia del nudo gordiano que acabamos de contar. El “número gordiano de un nudo” es el mínimo número de cruces que hay que cambiar en un nudo para deshacerlo, para obtener el nudo trivial.

Más concretamente, dado un nudo N, se dice que el número gordiano de N es n, y se denota u(N) = n (la u viene del inglés unknotting number, que es otro de los nombres que recibe), si existe un diagrama D del nudo N tal que si se cambian n cruces del mismo, el nuevo diagrama obtenido es equivalente al trivial, y no existe ningún otro diagrama D’ del nudo N tal que con menos cambios que n se obtenga un diagrama equivalente al trivial. Este es un invariante, es decir, para cualesquiera dos nudos equivalentes N1 y N2, su número gordiano es el mismo, u(N1) = u(N2).

El número gordiano del nudo de trébol es igual a 1, como se muestra en la siguiente imagen, puesto que si se cambia uno de los cruces se obtiene el no-nudo.

Si se cambia el cruce marcado en el nudo de trébol, el nuevo diagrama puede transformarse mediante los movimientos de Reidemeinster en el nudo trivial

De igual forma puede verse que el nudo del ocho también tiene número gordiano igual a 1, y para los demás nudos de la clasificación de los nudos con mínimo número de cruces menor o igual que 7 (más abajo también aparecen), que vimos en la anterior entrada, es:

Veamos una sencilla aplicación de este invariante. Por ejemplo, los dos nudos que existen con número mínimo de cruces igual a 5, son ambos no tricoloreables, como se puede observar fácilmente (véanse las imágenes de abajo), además no son anfiquerales. Sin embargo, el primero, 51, que se conoce con los nombres de nudo de cinco lóbulos, nudo pentagrama o nudo sello de Salomón, tiene número gordiano igual a 2, mientras que el segundo, 52, conocido como nudo con tres retorcimientos, tiene numero gordiano igual a 1. Luego ambos nudos no son equivalentes, no son el mismo desde un punto de vista topológico.

El nudo de cinco lóbulos no es tricoloreable, además, si cambiamos uno de los cruces (por simetría da igual cuál de ellos) queda el nudo de trébol, que necesita cambiar otro cruce para desatarlo, luego u(51) = 2

El nudo de tres retorcimientos es no tricoloreable y si cambiamos el cruce del medio es el nudo trivial, luego u(52) = 1

A continuación, vamos a introducir otro invariante curioso, el “número mínimo de aristas de un nudo” o “índice poligonal”, que en inglés se suele conocer también como “stick number”. Un nudo puede ser representado, en el espacio, por una serie de segmentos rectos (llamados aristas) que se intersecan solo en los extremos de los mismos (llamados vértices). Es lo que se llama una representación poligonal del nudo. En la siguiente imagen vemos una representación poligonal del nudo de trébol, que hemos realizado con “barras y bolas” de la herramienta zome.

Representación poligonal del nudo de trébol, realizada con la herramienta zome, para la que se han necesitado 6 barras, que es el mínimo posible para este nudo

El mínimo número de aristas de un nudo N, que se denota s(N), se define como el mínimo número de segmentos rectos que son necesarios para formar una representación poligonal del nudo N. Por ejemplo, el no-nudo tiene índice poligonal igual a 3, ya que aunque podemos realizar representaciones poligonales del no-nudo con 4 (cuadrado), 5 (pentágono), 6 (hexágono), o más aristas, la que requiere el menor número de aristas es la representación triangular, con tan solo 3 aristas. En la siguiente imagen, una escultura del nudo de trébol realizada por el artista Kevin Caron, puede verse una representación poligonal del nudo de trébol realizada con 12 aristas, sin embargo, de la anterior imagen se deduce que el número mínimo de aristas del nudo de trébol es 6.

Escultura “Luz de luna” (2016), en bronce y acero, del artista estadounidense Kevin Caron, perteneciente a su serie “Enterna”

Podríamos plantearnos cuántos nudos admiten representaciones poligonales realizadas con 8, o menos, aristas. Hay exactamente 12 nudos, que son los que se ven en la siguiente imagen, en la cual se ha dibujado los modelos, realizados con “barras (rígidas) y bolas”, de dichas representaciones poligonales. Los 10 primeros son nudos primos, mientras que los dos últimos son nudos compuestos, el nudo de la abuela y el nudo de rizo, de los que ya hablamos en la entrada La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos.

Podríamos tener la impresión de que el nudo 51 que aparece en la imagen realizado con 8 aristas, c(51) = 8, podría ser realizado con tan solo con 5 aristas, mediante su representación como el pentagrama. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las aristas de las representaciones poligonales no se pueden intersecar entre sí, salvo en los vértices, donde se intersecan solo dos aristas, mientras que al realizar el pentagrama con 5 aristas, estas se intersecarían entre sí en puntos que no son los extremos, o las barras se doblarían dejando de ser segmentos rectos.

Colgante de oro con el pentagrama

El número mínimo de cruces c(N) de un nudo N nos da información sobre el mínimo número de aristas s(N) del mismo. Aunque el conocimiento de c(N) no nos permite determinar con exactitud el valor de s(N), sí establecer unas cotas, superior e inferior, para el mismo. En concreto, se ha demostrado que

En 2011 se mejoró la cota superior, demostrándose que

Para los nudos con mínimo número de cruces c(N) menor o igual a 7, que son los de la clasificación que mostramos en la entrada La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos, el índice poligonal s(N) es el mismo para los nudos con el mismo número mínimo de cruces. Como se observa en una imagen anterior, c(51) = c(52) = 8 y c(61) = c(62) = c(63) = 8. Además, se puede probar que c(N) = 9, si N tiene número mínimo de cruces igual a 7. Veamos, por lo tanto, una clasificación más amplia que la que habíamos visto.

En la entrada anterior, habíamos comentado que la primera clasificación de los nudos la realizó Peter G. Tait en 1846, e incluía todos los nudos primos con mínimo número de cruces menor o igual que 7. La siguiente clasificación fue realizada por el matemático e ingeniero civil estadounidense Charles N. Little (1858-1923) en 1885 y contenía los nudos primos con mínimo número de cruces menor o igual que 10 (de nuevo no se distingue entre un nudo y su imagen especular). En ella se refleja que existen 21 nudos primos con mínimo número de cruces igual a 8, 49 con 9 cruces y 165 con 10 cruces.

En la actualidad están clasificados todos los nudos primos hasta mínimo número de cruces igual a 16, para lo cual Jim Hoste, Jeff Weeks, y Morwen Thistlethwaite realizaron búsquedas por ordenador mediante algoritmos diseñados por ellos mismos. La sucesión de la cantidad de nudos primos en función de su número mínimo de cruces, denominada A002863 en la Enciclopedia on-line de números enteros, es:

0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2.176, 9.988, 46.972, 253.293, 1.388.705.

Clasificación de los nudos con mínimo número de cruces menor o igual que 9

Los nudos primos con mínimo número de cruces igual a 8 ya no tienen todos el mismo índice poligonal, contrariamente a lo que ocurría hasta 7 cruces. Así, los nudos primos del 81 hasta el 815 tienen número mínimo de aristas igual a 10, los nudos 819 y 820 igual a 8 y para los cuatro restantes el valor es 9. Veamos tres ejemplos concretos de nudos con 8 cruces.

El primero de los nudos es el nudo 81. Este pertenece a la familia de los nudos retorcidos, que consisten en coger el nudo trivial e ir dando vueltas (de hecho, medias vueltas) y después “enganchar” los dos extremos desde los que hemos estado girando el nudo trivial. El nudo 81 es el nudo retorcido de 6 medias vueltas (véase la siguiente imagen). Con media vuelta se obtiene el nudo de trébol, con dos medias vueltas el nudo de ocho, con 3 el nudo 52, conocido como el nudo de tres retorcimientos, para cuatro el 61, conocido dentro de los nudos marineros como nudo Stevedore, y para cinco el 72. Una cuestión interesante de los nudos retorcidos es que todos tienen, por su construcción, número gordiano igual a 1. Además, ninguno es anfiquiral, salvo en nudo de ocho. Por otra parte, el nudo 81 tiene número poligonal igual a 10 y es tricoloreable.

El nudo retorcido 81 y su representación poligonal minimal con 10 barras, realizada con Knot Plot

Nuestro siguiente nudo, el nudo 818 es un nudo que deriva de los conocidos nudos de Carrick, que se obtienen anudando dos cuerdas. Se deriva del nudo marinero de Carrick (utilizado en náutica desde la edad media, aunque en la actualidad se utiliza principalmente en escalada; además, también es un nudo heráldico, que aparece en la heráldica de la familia Wake (Inglaterra) y del Condado de Ormond (Ireland)), que es el que vemos en la imagen de abajo realizado por una cuerda roja y otra azul, y después se unen los dos extremos de arriba, respectivamente, de abajo, entre sí, formando el nudo topológico, que se conoce como “estera o tapete de Carrick”. También puede obtenerse a partir del nudo, con una sola cuerda, conocido como nudo de doble moneda, uniendo los extremos.

Nudo marinero de Carrick

Tapete de Carrick, realizado con doble cuerda

El tapete de Carrick ha sido muy utilizado en decoración. Precisamente, el logo de la International Guild of Knot Tyers, es decir, la asociación internacional de personas interesadas en los nudos, es un tapete de Carrick. Este también es el “nudo húngaro” que aparece decorando algunos uniformes militares franceses.

Logo de la “International Guild of Knot Tyers” y el “nudo húngaro” que aparece decorando algunos uniformes militares franceses

El tapete de Carrick, es decir, el nudo 818, tiene número poligonal igual a 9, como se ve en la siguiente imagen de una representación poligonal minimal suya. Además, su número gordiano es 2, no es tricoloreable y es anfiquiral.

El nudo retorcido 818 y su representación poligonal minimal con 9 barras, realizada con Knot Plot

El tercero de los nudos, el nudo 819, se deriva de uno de los nudos más conocidos, el nudo de los enamorados (en inglés, true lover’s knot, el nudo del verdadero amante), y que vemos en la siguiente imagen, en las versiones físicas de una o dos curvas. Muchos nudos han sido asociados desde la antigüedad con la amistad y el amor.

Nudo de los enamorados con dos cuerdas

Nudo de los enamorados con una cuerda, y una variación equivalente

Existen muchos diagramas planos equivalentes del nudo de los enamorados, cada uno de los cuales intenta transmitir una propiedad diferente de este nudo topológico. Abajo vemos cuatro de esos diagramas, el primero derivado del nudo físico a partir del cual se genera, en el que se destacan los dos corazones entrelazados, el segundo expresa que este es un nudo tórico puesto que es equivalente a un nudo que está sobre una superficie de toro (la superficie de un donuts o un flotador), la tercera indica que es un nudo pretzel (familia de nudos cuyo nombre deriva del pretzel, o bretzel, un tipo de galleta o bollo salado retorcido en forma de lazo de origen alemán) y el último es un diagrama normal para expresar cierta disposición espacial del nudo.

Cuatro diagramas planos del nudo de los enamorados, del libro “Knots and Links”

El nudo 819 tiene número poligonal igual a 9, como se vio en la imagen de las representaciones poligonales con 8, o menos, aristas. Además, su número gordiano es 3, no es anfiquiral y es tricoloreable.

Existen muchos más invariantes numéricos, geométricos o algebraicos de los nudos topológicos, como el género de un nudo, el número de puentes, la alternancia, los polinomios de Alexander, Conway, Jones o HOMFLY, los invariantes de Vasiliev, o el grupo fundamental, entre otros, pero esta es otra historia que ya tendrá su momento.

Por cierto, si consideramos el “nudo de Anni” que mostramos en la anterior entrada, ¿cuál es su comportamiento respecto a los invariantes topológicos que hemos visto? ¿Es primo o compuesto? ¿Cuál es su número mínimo de cruces (como mucho es 15)? ¿Es tricoloreable? ¿Cuáles son los valores de su número gordiano y su índice poligonal? Eso queda como problema abierto para aquellas personas que os animéis. No es un problema sencillo.

Terminaremos esta entrada volviendo a lo que fue la motivación del inicio de estas dos entradas dedicadas a la teoría de nudos, el arte. Shinkichi Tajiri (1923-2009) fue un escultor estadounidense-neerlandés, descendiente de japoneses, en cuya obra escultórica tienen mucha importancia los nudos.

La escultura “Nudo de la amistad” (1981), del artista Shinkichi Tajiri, es una de sus esculturas inspiradas en el nudo de rizo

La escultura “Nudo de la abuela” (1992), del artista Shinkichi Tajiri, es una de sus obras inspiradas en el nudo homónimo

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, La artista Anni Albers, The Walking Dead y la teoría de nudos, Cuaderno de Cultura Científica, 2017.

2.- Raúl Ibáñez, La topología modifica la trayectoria de los peces, Cuaderno de Cultura Científica, 2016.

3.- María Teresa Lozano, La teoría de nudos en el siglo XX, Un Paseo por la Geometría 1998/99, Departamento de Matemáticas, UPV/EHU, 1999. Versión on-line en divulgamat

4.- Martín Gardner, Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas, Gedisa, 2002.

5.- Colin C. Adams, The Knot Book, An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, AMS, 2001.

6.- Peter Cromwell, Knots and Links, Cambridge, 2004.

7.- Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John Wiley and Sons, 2001.

8.- The Knot Atlas

9.- Página web del artista Kevin Caron

10.- Youngsik Huh, Seungsang Oh, An upper bound on stick number of knots, J. Knot Theory Ramifications 20, no. 5, 2011, pp. 741-747.

11.- Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks, “The first 1,701,936 knots”, The Mathematical Intelligencer20 (4), (1998, pp. 33–48.

12.- J. C. Turner, P. van der Griend, History and Science of Knots, World Scientific, 1996.

13.- Página web del escultor Shinkichi Tajiri

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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