Las mentiras, hijo mío, se conocen en seguida, porque las hay de dos clases: las mentiras que tienen las piernas cortas, y las que tienen la nariz larga. Las tuyas, por lo visto, son de las que tienen la nariz larga.
Carlo Collodi. Las aventuras de Pinocho. 1883.
Hoy proponemos un problema de lógica extraído de las Olimpiadas Matemáticas para Escuelas Públicas de Brasil de 2022.
Supongamos que las dos siguientes sentencias son ciertas:
- Pinocho siempre miente;
- Pinocho dice: «Todos mis sombreros son verdes».
¿Qué puede deducirse de lo anterior? La primera respuesta que se nos viene a la cabeza es que, como no es cierto que «Todos mis sombreros son verdes», Pinocho tiene (al menos) un sombrero que no es verde.
Pero las cosas son a veces más complicadas de lo que parecen: en el ejercicio propuesto en esas Olimpiadas Matemáticas se proponen cinco posibles respuestas… y ninguna es la que parece más «razonable», es decir, la que hemos comentado arriba.
Las respuestas propuestas en la Olimpiada Matemática
Se pide elegir la opción lógicamente válida deducida de estas dos sentencias entre las siguientes propuestas:
- Pinocho tiene al menos un sombrero.
- Pinocho tiene solo un sombrero verde.
- Pinocho no tiene sombreros.
- Pinocho tiene al menos un sombrero verde.
- Pinocho no tiene sombreros verdes.
¡No aparece la respuesta que habíamos deducido antes!
¿La solución?
Sabemos que Pinocho siempre miente. Pero debemos olvidar por un momento el lenguaje ordinario; estamos en el contexto de resolución de un problema de lógica matemática, y una “mentira” significa “afirmación matemáticamente falsa”.
También sabemos que Pinocho dice: «Todos mis sombreros son verdes» (y miente). ¿Qué podría provocar que la sentencia «Todos mis sombreros son verdes» sea matemáticamente (lógicamente) falsa?
Una posibilidad es que alguno de los sombreros que tiene Pinocho no sea verde, es la respuesta en la que habíamos pensado al principio. Y eso nos lleva a deducir que la respuesta a) es también (lógicamente) cierta.
Pero, otra posibilidad es que Pinocho no tenga sombreros (es decir, la respuesta c) sería cierta). Entonces mentiría al afirmar que «Todos mis sombreros son verdes». Dejemos un momento de lado las respuestas a) y c) para descartar las otras tres.
La respuesta b) afirma que Pinocho tiene solo un sombrero verde. Pero esta respuesta no es válida, ya que si, por ejemplo, tuviera dos sombreros verdes y uno azul, la sentencia «Todos mis sombreros son verdes» sería falsa (como debe de ser, porque Pinocho siempre miente) y contradiría a b).
La respuesta d) afirma que Pinocho tiene al menos un sombrero verde. Si tuviera, por ejemplo, un sombrero marrón y otro azul, al decir «Todos mis sombreros son verdes», efectivamente estaría mintiendo. Pero no encaja con la respuesta d), que por lo tanto no es la adecuada.
La respuesta e) afirma que Pinocho no tiene sombreros verdes. Pero si tuviera un sombrero verde y otro marrón, al decir «Todos mis sombreros son verdes» mentiría. Así que no podemos deducir que no tenga sombreros verdes y, por lo tanto, la respuesta e) no es válida.
Y ahora: ¿es cierta la respuesta a) o la respuesta c)?
Veamos que la opción c) no es correcta desde el punto de vista lógico. Por lo tanto, la respuesta correcta es la a).
Si Pinocho no tuviera sombreros, al decir «Todos mis sombreros son verdes» no estaría mintiendo. ¿Por qué? Porque si no dijera la verdad, si mintiera, entonces debería de haber un sombrero que no es verde… ¡pero es imposible, porque no hay sombreros (en particular no hay sombreros que no sean verdes)! De igual manera, las sentencias «Todos mis sombreros son azules» o «Todos mis sombreros son marrones» serían también verdaderas, porque NO PUEDEN SER FALSAS (si lo fueran, debería de haber un sombrero que no fuera azul… y no lo hay). ¡Vaya lío!
El anterior argumento involucra la noción de verdad vacía, una declaración que afirma que todos los elementos del conjunto vacío poseen cierta (de hecho, cualquier) propiedad. Desconcierta un poco al principio, pero el conjunto vacío “tiene estas cosas”.
Bonus: La paradoja de Pinocho
En realidad, sabemos por el cuento de Carlo Collodi que Pinocho no miente siempre (aunque ese fuera parte del enunciado del anterior problema); la realidad es que, cuando miente, le crece la nariz. Si dice la verdad, el tamaño de su nariz no cambia.
Imaginemos que Pinocho dice: «Me va a crecer la nariz ahora». ¿Qué sucederá?
Razonemos con cuidado: si lo que dice es verdad, entonces su nariz no crecerá (porque no ha mentido), en contra de su afirmación. Pero si miente, le debería crecer la nariz porque dice mentira… ¿Cómo puede ser si la sentencia «Me va a crecer la nariz ahora» es falsa? Llegamos así a una paradoja, que no es más que una versión de la conocida como paradoja del mentiroso, que posee diferentes propuestas de solución.
Referencia
Miss Celania, A Logic Question About Hats, Neatorama, 10 de septiembre de 2022
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia