¿Una apuesta ganadora?
Lo que llamamos azar es nuestra ignorancia de la compleja maquinaria de la causalidad.
Jorge Luis Borges, La divina comedia, conferencia, 1977.
Hoy presentamos un problema relacionado con el azar, una apuesta entre dos personas con una sorprendente solución.
La apuesta
Julia le propone una apuesta a Antonio.
Le muestra dos dados, A y B, y comenta a su amigo que poseen la siguiente propiedad:
“Cuando se lanzan simultáneamente, el dado A gana al dado B en exactamente 21 de los 36 casos posibles; de otra manera, A gana a B con una probabilidad del 58,33 %”.
La afirmación de Julia se basa en cómo son las caras de cada dado: las del dado A están numeradas 6, 3, 3, 3, 3 y 3, y las del dado B están numeradas 5, 5, 5, 2, 2, 2. Así que el dado A gana cuando en la tirada sale un 6 (hay 6 casos de los 36 posibles) o cuando saca un 3 y el dado B saca un 2 (hay 15 casos de 36. Por lo tanto, el dado A gana al dado B en 21 de las 36 posibles tiradas.
Se sabe además que estos dados son dados equilibrados, es decir, cada una de sus 6 caras tiene la misma probabilidad teórica de salir: 1/6 (aproximadamente. 16,67 %).
Julia propone a Antonio apostar 100 euros y, aparentemente, se lo pone fácil; le dice:
“Tú eliges el dado que quieras y yo me quedaré con el otro. Luego, tú y yo lanzaremos nuestro dado dos veces seguidas. Sumarás los resultados de los dos lanzamientos de tu dado. Y yo haré lo mismo con los dos lanzamientos del mío. Quien obtenga la suma más alta ganará y se llevará los 200 euros”.
Antonio reflexiona durante un rato y razona de la siguiente manera:
“El dado A es mejor que el dado B, ya que gana en el 58,33 % de las veces; ambos son dados equilibrados así que todo funciona como me ha comentado Julia. Si lo lanzo dos veces seguidas, aumenta todavía más su ventaja sobre el dado B y, por lo tanto, también crecen sus probabilidades de ganar. La apuesta que propone Julia es una tontería; no sé cómo no se ha dado cuenta de que, al elegir yo en primer lugar, mi elección va a ser ganadora. Voy a aceptar la apuesta; elegiré el dado A, que me garantiza al menos un 58,33 % de probabilidades de ganar”.
Antonio acepta la apuesta de Julia y elige, como ha razonado, el dado A.
Julia sonríe satisfecha, y dice victoriosa a Antonio:
“¡Has caído! ¡Me quedo con tus 100 euros! Las probabilidades están a mi favor, tengo más del 59 % de posibilidades de ganar”.
¿No es esto paradójico? ¿Quién tiene la razón, Julia o Antonio?
Tampoco es inescrutable el azar, también está regido por un orden.
Novalis, en Diccionario de las citas de Luis Señor
La explicación de la afirmación de Julia
Veamos lo que sucede cuando se realiza un lanzamiento doble con cada dado:
- el dado A obtiene al sumar el resultado de las dos tiradas 12 (1 vez: cuando sale en cada tirada un 6), 9 (10 veces: cuando sale en una de las tiradas un 6 y en la otra un 3) o 6 (25 veces: cuando sale en ambas tiradas un 3)
- el dado B obtiene 10 (9 veces: cuando sale en ambas tiradas un 5), un 7 (18 veces: cuando sale en una tirada 5 y en la otra 2, en cualquier orden) o 4 (9 veces: cuando sale en ambas tiradas un 2).
Al lanzar el dado A dos veces y el dado B otras dos, hay 1296 (36 x 36) posibles resultados. ¿Cuándo gana B?
- cuando saca un 10 y A un 9 (9 x 10 = 90 veces), o
- cuando saca un 10 y A un 6 (9 x 25 = 225 veces), o
- cuando saca un 7 y A un 6 (18 x 25 = 450 veces).
Así, el dado B ganará en 90 + 225 + 450 = 765 veces de los 1296 resultados posibles que, recordemos, son igualmente probables porque ambos dados son equilibrados.
B ganará si saca un 10 y A saca un 9 (10 x 9 = 90 veces), o si saca un 10 y A saca un 6 (9 x 25 = 225 veces), o si saca un 7 y A saca un 6 (18 x 25 = 450 veces). Por lo tanto, el dado B ganará 90 + 225 + 450 = 765 veces de los 1296 resultados posibles, que son igualmente probables ya que los dados no están trucados.
Así que Julia tiene razón: ella tiene el dado B y sus probabilidades de ganar a Antonio son un poco menos del 59,03 %. El argumento de Antonio parecía tan convincente… pero, como hemos visto, aunque A gana (en probabilidad) a B en los lanzamientos simples, es B quien gana a A en los dobles.
A pesar de todo, hay que tirar los dados para ver quien se queda con los 100 euros de su contrincante…
el azar nos ofrece
su doble vía
vos con tus soledades
yo con las mías
Mario Benedetti, Señales
Referencia
Jean-Paul Delahaye, Le lancer des dés, Accromath 21.1 – hiver-printemps 2026
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Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia
