La topología estudia propiedades cualitativas de objetos, en el sentido de que no es importante, por ejemplo, su posición o su tamaño: dos objetos son topológicamente equivalentes (homeomorfos, en lenguaje matemático) cuando es posible transformar el uno en el otro (y viceversa) sin ‘cortar’ ni ‘pegar’ nada que no lo estuviera previamente. De otro modo, al realizar esta transformación (reversible), puntos que estaban ‘cerca’ al principio deben seguir estando ‘cerca’ (se dice que esta transformación es continua, y como el proceso se puede invertir, la transformación inversa también lo es).
La semana pasada tuve el privilegio de explicar que es eso de “la topología” en un foro no experto, con público de todas las edades. Así que hoy quería rendir un homenaje a esta área de las matemáticas que estudio, enseño y disfruto cada día.
ABIERTO
Los conjuntos abiertos son los elementos básicos de una topología. De hecho, una topología sobre un conjunto X es una familia de subconjuntos de X que contiene al vacío y a X, y es cerrada bajo intersecciones finitas y uniones arbitrarias. Fijada una topología sobre X, dotado de esta estructura, X se convierte en un espacio topológico.
BANDA (DE MÖBIUS)
¡Cómo no citar a la banda de Möbius si se habla de topología! Es una superficie (una variedad topológica no orientable de dimensión dos y con borde) cuyas extraordinarias propiedades han potenciado su presencia en campos dispares. Algunos ejemplos y su construcción pueden verse en este enlace.
COMPACIDAD
La compacidad es una de las propiedades topológicas básicas. En espacios topológicos abstractos, este concepto generaliza la noción de conjunto cerrado y acotado en espacios euclidianos. La compacidad es una propiedad topológica (ver la letra H).
DENSIDAD
En un espacio topológico, un conjunto es denso si tiene intersección no vacía con cualquier conjunto abierto no vacío. Intuitivamente, un tal conjunto “está bien repartido” (topológicamente) en todo el espacio.
ENTORNO
En un espacio topológico un entorno de un punto x es un conjunto que contiene a los puntos “cercanos” a x. Se define como un conjunto que contiene a un abierto que contiene a x.
“FOUR COLORS SUFFICE”
El teorema de los cuatro colores es un conocido resultado topológico que tardó más de cien años en resolverse. Kenneth Appel y Wolfgang Haken lo demostraron en 1976, basándose en resultados parciales de numerosos profesionales de las matemáticas. Tras hacer las últimas comprobaciones sobre la veracidad del teorema de los cuatro colores, Appel colocó en el tablón de anuncios de su departamento en la Universidad de Illinois: “Modulo careful checking, it appears that four colors suffice.” [Tras una cuidadosa comprobación, parece que cuatro colores son suficientes].
GRUPO (FUNDAMENTAL)
El grupo fundamental de un punto en un espacio topológico da información (algebraica) sobre la estructura 1-dimensional alrededor de ese punto. Este grupo se construye estudiando los caminos cerrados basados en ese punto y la relación de homotopía (que mide la existencia de “agujeros” en el espacio) entre ellos.
HOMEOMORFISMO
Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos es una función biyectiva, continua y de inversa continua. Dos espacios topológicos homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas (como la compacidad, la normalidad, etc.).
INTERIOR (DE UN CONJUNTO)
El interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en dicho conjunto.
JORDAN
El teorema de la curva de Jordan es uno de los teoremas topológicos más importantes en relación a la conexión del mismo (tener o no conjuntos abiertos disjuntos cuya unión es el espacio total). Afirma que una curva cerrada simple del plano lo divide en dos componentes conexas que tienen la curva como frontera común.
KLEIN (BOTELLA)
La botella de Klein es un ejemplo de superficie (variedad topológica de dimensión 2) compacta (cerrada y acotada), conexa (de una pieza) y no orientable (contiene bandas de Möbius).
LOCAL (PROPIEDAD)
En topología se estudian propiedades locales y globales, y de ambas se pueden extraer propiedades muy diversas. Por ejemplo, dos superficies (variedades topológicas de dimensión 2) son localmente indistinguibles (localmente homeomorfas), ya que, alrededor de un punto cualquiera, la superficie es (homeomorfa a) un trozo de plano. Sin embargo, globalmente, las superficies pueden ser completamente diferentes.
MÉTRICA
Los espacios métricos son una clase especial de espacios topológicos en los que la topología está inducida por una métrica o distancia sobre el conjunto. Poseen propiedades especialmente buenas, como la propiedad de Hausdorff, que garantiza que dos puntos diferentes pueden “separarse” mediante conjuntos abiertos disjuntos.
NORMALIDAD
Un espacio topológico es normal cuando dos conjuntos cerrados disjuntos se pueden separar por abiertos disjuntos. Los conjuntos cerrados son los complementarios de los abiertos. La normalidad es una propiedad topológica (ver la letra H). Estos espacios poseen “muchas” funciones continuas, como asegura el lema de Uryshon o el teorema de extensión de Tietze.
ORIENTABLE
Un espacio topológico se define como no orientable si tiene embebida una banda de Möbius (ver B).
PROPIEDAD (TOPOLÓGICA)
Una propiedad relativa a espacios topológicos se llama topológica si se transmite por homeomorfismos. Son importantes porque ayudan a distinguir entre espacios no homeomorfos: si uno de ellos posee una propiedad topológica y el otro no la posee, esos espacios no pueden ser homeomorfos.
¿QUIERES RECONOCER A UN ESPECIALISTA EN TOPOLOGÍA?
Es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla. Bueno… tan solo cuando se pone sus “gafas topológicas”, por supuesto. Porque en ese caso, con esas gafas especiales, mediante un homeomorfismo es posible transformar una taza en una rosquilla.
RUDIN
La matemática Mary Ellen Rudin es conocida por sus construcciones y contraejemplos a conjeturas célebres en topología, la más conocida de ellas es el espacio de Dowker.
SALICRUP
Graciela Salicrup fue una investigadora mexicana pionera en la rama de topología categórica en las décadas de 1970 y 1980.
TERNARIO (DE CANTOR)
Entre 1879 y 1884, Georg Cantor escribió una serie de cinco artículos que contienen, entre otros, el primer tratamiento sistemático de la topología de la recta real. En el quinto artículo de esta serie, introdujo lo que se conoce como el conjunto ternario de Cantor, un conjunto infinito, perfecto y totalmente disconexo. Es un modelo topológico para cierto tipo de espacios en el sentido que indica este teorema: «Todo espacio métrico no vacío, totalmente disconexo, perfecto y compacto es homeomorfo al conjunto ternario de Cantor».
URYSHON (LEMA)
El lema de Uryshon afirma que un espacio topológico es normal (ver N) si y solo si cada par de conjuntos cerrados disjuntos se pueden separar mediante una función continua.
Vorstudien (zur Topologie)
Vorstudien zur topologie es el título del artículo que Johann Benedict Listing publicó en 1847. Fue la primera vez en la que apareció la palabra “topología” (en alemán) publicada en un artículo, aunque el propio Listing ya la había utilizado anteriormente en una carta enviada en 1836 a uno de sus antiguos profesores. Así, se abandonó la antigua nomenclatura de análisis situs Listing escribe en este texto: “Por topología nos referimos a la doctrina de las características modales de los objetos, o de las leyes de conexión, de posición relativa y de sucesión de puntos, líneas, superficies, cuerpos y sus partes, o agregados en el espacio, siempre sin tener en cuenta cuestiones de medida o cantidad”.
WILLARD
En mis años de estudiante, aprendí topología con el magnífico libro “General Topology” de Stephen Willard. Lo recomendaba Ma. Ángeles de Prada, mi profesora de topología durante la carrera. Fue la persona que me “enamoró” de esta materia y gracias a la cual me he dedicado a esta rama de las matemáticas profesionalmente. Como ella, como no podía ser de otra manera, recomiendo “el Willard” en mis clases.
X Y Z
En topología no resolvemos ecuaciones, no buscamos ni la “x”, ni la “y”, ni la “z”. La topología es matemática cualitativa.
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia