Dividiendo un cuadrado en rectángulos semejantes

En algunas ocasiones los temas sobre los que escribir en la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica llegan a mí por casualidad. En este caso, estaba yo escribiendo un pequeño texto sobre los rectángulos de razón raíz cuadrada de dos (en la entrada Visitad los museos, también en clave matemática podéis leer un poco sobre estos rectángulos y su relación con los formatos de papeles DIN A, desde el DIN A0 hasta el DIN A10), cuando descubrí el interesante problema geométrico de la división de un cuadrado en rectángulos semejantes.

Rectángulos semejantes

Empecemos por recordar el concepto de rectángulos semejantes. Dos rectángulos son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque el tamaño sea diferente, es decir, la razón o proporción de sus lados (división entre el largo y el ancho) es la misma, como se observa en la siguiente imagen. Como ambas figuras geométricas son rectángulos, los ángulos también son iguales, ángulos de 90 grados.

Así, todos los rectángulos con proporción raíz cuadrada de dos, como los formatos de la serie de papeles DIN A, desde el DIN A0 hasta el DIN A10, tienen la misma forma, pero pueden tener distinto tamaño, como en estos formatos. En ese caso, se habla del rectángulo raíz de dos en referencia a todos los rectángulos que tienen esa forma, independientemente del tamaño.

Se puede trazar de forma sencilla un rectángulo raíz de dos a partir de un cuadrado, ya que la diagonal del mismo, por el teorema de Pitágoras, es igual a la raíz cuadrada de dos multiplicada por la longitud del lado del cuadrado. Para ello se traza un arco de circunferencia con centro en uno de los vértices del cuadrado y de radio la longitud de la diagonal, entonces la intersección de la circunferencia con la recta que extiende uno de los lados adyacentes al vértice, nos da la longitud del lado largo del rectángulo, como se muestra en la anterior imagen.

Ahora, la diagonal del rectángulo raíz cuadrada de dos es igual a la raíz cuadrada de tres multiplicado por el lado del cuadrado, lo cual permite ahora la construcción de un rectángulo de razón la raíz cuadrada de tres.

De forma similar y progresivamente se pueden construir los demás rectángulos cuya proporción es la raíz cuadrada de un número natural.

Hemos puesto como ejemplo de rectángulos semejantes aquellos cuya razón es de la forma la raíz cuadrada de un número natural, pero para el problema geométrico se habla, a priori, de rectángulos semejantes de cualquier razón r.

El problema geométrico

Expresado de una forma simple, el problema geométrico de la división de un cuadrado en rectángulos semejantes consiste exactamente en eso. Pero vayamos poco a poco para entender mejor en qué consiste el problema. Por ejemplo, si queremos dividir el cuadrado (que como estamos hablando de rectángulos semejantes podemos considerar que es un cuadrado de lado 1) en dos rectángulos semejantes la solución es muy sencilla, dos rectángulos de proporción 2, al trazar una recta, vertical u horizontal, que parte al cuadrado por la mitad, dividiendo el cuadrado en dos rectángulos no solo semejantes (forma), sino iguales (tamaño).

La segunda división es igual a la primera, sin más que rotar la imagen 90 grados, luego podemos considerar que son la misma solución, la misma forma de dividir un cuadrado en dos rectángulos semejantes. Es decir, si podemos pasar de una solución a otra mediante una rotación o una reflexión es la misma solución.

Si ahora nos planteamos el problema de dividir el cuadrado en tres rectángulos semejantes, hay dos soluciones que nos vienen rápidamente a la cabeza. La primera está formada por tres rectángulos iguales de lados 1 y 1/3, es decir, por tres rectángulos de razón 3. Mientras que la segunda estaría formada por un rectángulo de lados 1 y 2/3, junto a dos rectángulos de lados 1/2 y 1/3, luego tres rectángulos semejantes de razón 3/2, como se muestra en la imagen. Las razones de los rectángulos de ambas divisiones son números racionales, 3 y 3/2.

Pero podemos investigar si existen más formas de dividir el cuadrado en tres rectángulos semejantes. La solución debe tener un rectángulo con uno de los lados igual a 1 y otro de una longitud, por ahora desconocida, x, que por simetría podemos considerar vertical (los lados largos de los rectángulos son verticales), como en la siguiente imagen, y dos rectángulos horizontales obtenidos al colocar una recta horizontal a una distancia y de uno de los lados horizontales, por lo tanto, las longitudes de los lados de esos dos rectángulos serían {1 – x, y} y {1- y, 1 – x}, como en la imagen.

Si tenemos en cuenta que los tres rectángulos tienen que tener la misma proporción se obtienen las igualdades que se muestran en la imagen anterior. De esas igualdades se deduce que el valor x satisface la siguiente ecuación.

Esta ecuación polinómica de tercer grado tiene una única solución real x que es un número irracional, pero cuyo valor es aproximadamente 0,56984. Por lo tanto, la proporción de estos rectángulos es 1/x (aproximadamente 1,75487), que es igual al cuadrado del conocido “número de plástico” p, que es solución de la ecuación p³ = p + 1.

En conclusión, se puede dividir un cuadrado en tres rectángulos semejantes de tres formas distintas (salvo rotaciones o reflexiones), que son las que aparecen en la anterior imagen. Las proporciones de los rectángulos de cada una de las tres divisiones son 3, 3/2 y p², siendo p el número de plástico. Las dos primeras son números racionales, mientras que la tercera es un número irracional, aunque las tres son números algebraicos, es decir, raíces de una ecuación polinómica con coeficientes enteros.

Contando las soluciones al problema

En 2022 el matemático estadounidense John C. Baez (1961) planteó, en la comunidad orientada a las matemáticas Mathstodon.xyz dentro de la red social Mastodon, la cuestión de para qué proporciones existen soluciones al problema de la división de un cuadrado en n rectángulos semejantes. Además, mostró que, para cuatro rectángulos, n = 4, existen 11 proporciones posibles, que se corresponden con las siguientes divisiones del cuadrado.

De las once proporciones posibles cinco de ellas son racionales r = 4, 5/2, 5/3, 4/3 y 1, ligadas a las divisiones del cuadrado con cuatro rectángulos similares que están etiquetadas en la imagen anterior como 1, 4, 7, 10 y 11, que como podéis observar son divisiones del cuadrado en las que todos los rectángulos están orientados en la misma dirección (en la imagen, son todos horizontales, los lados largos de los rectángulos son horizontales).

Las otras seis proporciones posibles son, por tanto, irracionales. Pero más aún, como ya se demostró en general, en la década de 1990, si un número es la proporción de una familia de rectángulos semejantes que forman parte de una división del cuadrado, entonces esa proporción es un número algebraico, es decir, es la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. En la siguiente imagen mostramos las ecuaciones polinómicas de esas seis proporciones irracionales que se corresponden con las divisiones del cuadrado con cuatro rectángulos similares que están etiquetadas como 2, 3, 5, 6, 8 y 9, así como aproximaciones a esas proporciones.

Las seis ecuaciones polinómicas asociadas a las proporciones irracionales son de grado 3 (cúbicas), mientras que trivialmente las razones racionales son raíces de ecuaciones de grado 1.

Tengamos en cuenta que en esta clasificación se toma como elemento principal de la misma el valor de la razón de los rectángulos semejantes de la división del cuadrado, pero que cada una de las razones posibles, once en el caso de 4 rectángulos, tiene asociadas distintas divisiones, sin más que rotar, realizar una reflexión o reordenar los rectángulos.

Por ejemplo, para la razón etiquetada como 4 (r = 5/2) se tienen seis divisiones que se obtienen a partir de la dada por John Baez (arriba a la izquierda, en la siguiente imagen), rotando 90 grados (arriba a la derecha), rotando 180 grados o realizando una simetría especular respecto a una recta horizontal (segunda fila a la izquierda), rotando 270 grados (segunda fila a la derecha), reordenando los rectángulos, pasando los dos de arriba al centro (abajo a la izquierda) y rotando 90 grados la anterior (abajo a la derecha).

La sucesión A359146 de la OEIS

El siguiente paso fue la división del cuadrado de cinco rectángulos semejantes. Ian Henderson y Rahul Narain obtuvieron 51 maneras distintas, en realidad, proporciones distintas, de dividir un cuadrado en rectángulos semejantes, con sus ecuaciones polinómicas asociadas.

También Ian Henderson obtuvo que hay 245 proporciones posibles para la división del cuadrado en seis rectángulos semejantes y 1.371 para siete rectángulos (aunque luego fue corregido por Daniel Gerbet, que demostró que faltaba una, siendo 1.372).

La sucesión de números enteros dada por la cantidad de proporciones posibles para la división de un cuadrado en n rectángulos semejantes es la sucesión A359146 de la Enciclopedia Online de Sucesiones de Números Enteros – OEIS, cuyos primeros siete términos son

1, 1, 3, 11, 51, 245, 1.372.

Según Ian Henderson, para ocho rectángulos semejantes podrían ser 8.522.

Un problema relacionado con el que acabamos de mostrar es el problema de la cuadratura del cuadrado, que consiste en dividir un cuadrado (o rectángulo) en un número finito de cuadrados más pequeños, luego todos tienen la misma proporción r = 1, pero siendo todos de distintos tamaños (sobre este problema podéis leer las entradas La cuadratura del cuadrado: en busca del santo grial y La cuadratura del cuadrado: las redes eléctricas de Kirchhoff).

Bibliografía

1.- John Baez, Dividing a Square into Similar Rectangles, Azimuth (blog de John Baez), 2022.

2.- John Baez, Dividing a Square into 7 Similar Rectangles, Azimuth (blog de John Baez), 2023.

3.- C. Freiling, D. Rinne, Tiling a square with similar rectangles, Mathematical Research Letters, vol. 1, n. 5, pp. 547–558, 1994.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica