El teorema de Pitágoras es sin lugar a dudas el resultado matemático más conocido, ese que, si pidiéramos a la gente que mencionase uno, sería citado por el 100% de las personas, e incluso puede que algunas fuese el único que fuesen capaces de nombrar. Un resultado que se ha convertido no solamente en un símbolo de las matemáticas, las escolares y las no escolares, sino también de la educación.

Así, por ejemplo, lo podemos ver citado en algunos anuncios publicitarios, como el siguiente que encontré en las páginas del periódico ABC…

La verdad es curioso que en la lista de cosas mencionadas en relación a la educación se incluyan dos matemáticas, como son el Teorema de Pitágoras y la ecuación de segundo grado. Aunque por otro lado sorprende que también aparezca la fórmula e=mc², de la teoría de la relatividad de Einstein. Otro anuncio que me gusta mencionar, dentro de la relación entre el Teorema de Pitágoras y la educación, es el siguiente de la Fundación de Ayuda contra la Drogadicción…

… aunque la labor del profesorado de matemáticas no es hacerles creer a los jóvenes estudiantes que el Teorema de Pitágoras es verdadero, sino demostrarles que lo es, y lo mismo podríamos decir de la educación en general. Por eso hoy me gustaría acercar a este Cuaderno de Cultura Científica algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras, de esas conocidas en el mundo de las matemáticas como “demostraciones sin palabras”.

Las demostraciones sin palabras, como comenta el matemático Roger B. Nelsen –autor del libro Demostraciones sin Palabras, Proyecto Sur, 2001 (en inglés publicado por la MAA en 1993)-, se fueron haciendo populares en la comunidad matemática a raíz de su publicación en las revistas de la MAA –Mathematical Association of America-, Mathematics Magazine y The College Mathematical Journal, en las que empezaron a aparecer hacia 1975, primero como imágenes de relleno entre artículos y posteriormente como secciones fijas de las revistas.

Aunque ya en 1973 Martin Gardner se refirió a las demostraciones sin palabras como diagramas “en un vistazo” y señaló que “en muchos casos, una demostración farragosa puede ser suplida por una geométrica análoga, tan simple y bella que la veracidad de un teorema es casi vista en una ojeada”. Y fue el libro de Roger B. Nelsen, y su secuela Proofs without Words II (MAA, 2000), el que daría el definitivo empujón a la difusión de las demostraciones sin palabras.

Como bien comenta Nelsen, las demostraciones sin palabras no son realmente demostraciones matemáticas en sí mismas, son más bien diagramas, esquemas o dibujos que nos ayudan a comprender por qué un teorema es cierto o que encierran la idea de la verdadera demostración matemática. Eso sí, son sugerentes, atractivas y todo un ejercicio de estimulo del pensamiento, al cual os invitamos con los ejemplos que a continuación vamos a mostrar con relación al Teorema de Pitágoras.

Para empezar recordemos qué dice el teorema de Pitágoras (ca. 585-500 a.n.e.): dado un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (la famosa expresión a²+b²=c², si a y b son los catetos y c la hipotenusa). De hecho, el teorema dice algo más, también es cierto el recíproco, es decir, que “dado un triángulo para el cual el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, entonces el triángulo es rectángulo”.

Este teorema ha sido atribuido según diferentes fuentes de la propia Grecia (los historiadores Plutarco, Diógenes Laercio, el escritor Ateneo y el filósofo Proclo) a Pitágoras, como ha trascendido hasta nuestros días. Sin embargo, existen evidencias de que era conocido por antiguas civilizaciones como en Babilonia, Egipto, India o China. Por lo que se sabe, estas civilizaciones conocían y manejaban triángulos concretos que verificaban el teorema (por ejemplo el triángulo de lados (3,4,5) es un triángulo rectángulo para el que 9+16=25), pero le debemos a Pitágoras el teorema en toda su generalidad –para todos los triángulos rectángulos y para todas las ternas de números verificando la propiedad- (es decir, hay un paso de lo concreto a lo general) y también su “demostración”, sabemos que algo “es verdad” porque se ha demostrado matemáticamente, y así ocurre con el Teorema de Pitágoras.

Diógenes Laercio recoge en su “Vida de filósofos” un comentario de un tal Apolodoro el Calculador asegurando que Pitágoras sacrificó una hecatombe (cien bueyes, del griego hekaton –cien– y bus –buey–) cuando descubrió su famoso teorema. Aunque sea una anécdota ficticia, su inclusión en el libro de Laercio nos ofrece una idea de la importancia que le concedían entonces. Además, por este motivo en la Edad Media el Teorema de Pitágoras era conocido como Inventum hecatombe dignum. Aunque también se conocía en esa época como Magister matheseos. Y antes, en la época de los griegos, se conocía por el teorema de la mujer casada.

Se ha asociado siempre la demostración original de Pitágoras con una demostración geométrica-visual basada en una serie de figuras geométricas móviles (cuatro copias del triángulo rectángulo y dos cuadrados de lado igual a los catetos del triángulo), que es la primera de las “demostraciones sin palabras” que mostraremos hoy aquí. Un caso particular de esta demostración (el del triángulo rectángulo de lados (5, 3, 4)) aparece en el tratado chino Chou-Pei Suan-Ching (aritmética clásica del gnomon y estudio de las órbitas circulares en los cielos), hacia el 300 a.n.e. Por supuesto, animamos a los lectores y lectoras de esta entrada a realizar el “ejercicio de pensamiento visual” que le lleve a comprender el Teorema de Pitágoras a partir del diagrama siguiente.

Sin embargo, muchos historiadores son de la opinión de que la demostración se basaría en su propia teoría de las proporciones (en el libro Pitágoras, el filósofo del número, Pedro Miguel Urbaneja, Nivola, 2001, pueden verse dos posibles demostraciones según los historiadores).

Sin embargo, la demostración del Teorema de Pitágoras que ha trascendido desde la matemática griega ha sido la que aparece en la gran obra de la matemática griega, y universal, Los Elementosde Euclides (ca. 325-265 a.n.e.). Una demostración muy elegante, con un sencillo razonamiento geométrico de áreas, triángulos y cuadrados, de la cual mostramos aquí su versión “sin palabras”.

Según E. Lucas, el autor del excelente libro Recreaciones Matemáticas, los árabes llamaban al esquema de la demostración del Teorema de Pitágoras dado por Euclides, la silla de la novia, ya que al parecer se parece a la silla que en algunos países orientales llevaba un esclavo a la espalda para transportar a la novia a la ceremonia. También ha sido llamada calesa de la mujer recién casada, capucha de franciscano, cola de pavo real y figura del molino de viento. El filósofo Schopenhauer llamaba a la demostración de Euclides “una prueba paseando en zancos” y también “prueba de la ratonera”.

(imagen del Teorema de Pitágoras en Los Elementos, de Euclides)

Para que veáis una idea de cómo surgen estos nombres, la silla de la novia o la calesa de la mujer recién casada, podemos observar la siguiente imagen que fue publicada en la revista Mathematical Gazette (n. 11, 1922-23) en el contexto de la primera guerra mundial.

La siguiente demostración sin palabras que mostramos hoy aquí es una demostración muy sencilla y de gran belleza, que se debe al monje, matemático y astrónomo hindú Bhaskara (1114-1185). Consiste en coger 4 copias del triángulo rectángulo (de catetos a y b) y un cuadrado de lado b – a, y reordenarlos, como en un juego de ingenio, para obtener el resultado pitagórico. De nuevo una demostración sin palabras y cuya comprensión es como un juego de ingenio para divertir y motivar a quien se anime a jugar.

Y para terminar esta entrega de hoy, una sorpresa… una de las demostraciones sin palabras, se debe a uno de los presidentes de EEUU. James Abram Garfield (1831-1881), fue el presidente número 20 de los Estados Unidos de América, y el segundo en morir asesinado (después de Abraham Lincoln). Tuvo una carrera distinguida como congresista y como militar durante la Guerra Civil, posteriormente sería General en Jefe de las Fuerzas Armadas del EEUU. Antes de la Guerra Civil trabajó como profesor de lenguas clásicas. Su nombre está asociado a las matemáticas ya que en 1876 descubrió una nueva demostración del Teorema de Pitágoras haciendo uso de un trapecio (según cuentan lo descubrió en una discusión matemática con otros miembros del Congreso de los EEUU, cinco años antes de ser presidente).

Bibliografía

i) Claudi Alsina, “La secta de los números”, RBA, 2010

ii) Roger B. Nelsen, Demostraciones sin palabras (ejercicios de pensamiento visual), Proyecto Sur, 2001.

ii) Pedro Miguel Urbaneja, Pitágoras, el filósofo del número, Nivola, 2001

Sobre el autor: Esta anotación ha sido realizada por Raúl Ibáñez, profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica