Este verano he pasado unos días visitando la región francesa de la Provenza. Mi visita empezó en la hermosa ciudad de Aix-en-Provence, donde compré una caja de los famosos calissons.
Fotografía de mi visita a la Fundación Vasarely, en Aix-en-Provence, Francia. Fotografía: Marian Espinosa
Calissons
El calisson es un dulce típico de la región francesa de la Provenza, asociado especialmente con la ciudad de Aix-en-Provence. Está elaborado a partir de una pasta formada por almendras molidas y melón confitado (u otras frutas confitadas), con un glaseado blanco por encima, que se cuece a fuego lento. La forma del calisson es, más o menos, la de un rombo formado por dos triángulos equiláteros (similar a la de la forma de la caja que mostramos en la siguiente imagen).
Fotografía de una caja de calissons, con forma de rombo (como la forma de los propios calissons), que me compré en la ciudad francesa de Aix-en-Provence. Fotografía: Marian Espinosa
No está muy claro el origen de este dulce, que parece ser originario de Italia. Como se comenta en la correspondiente entrada de la Wikipedia (en francés), “una de sus primeras referencias se remonta al siglo XII, en un texto medieval italiano en latín que utiliza el término calisone para referirse a un pastel de almendra y harina similar al mazapán moderno”. Y existe otra referencia posterior, el texto Chronique des Vénitiens / Crónica de los venecianos (1275), del italiano Martino Canal, en la que se menciona un dulce, a base de pasta de almendras y nueces a la que se añadían diversas especias (canela y clavo), de nombre “calissons”.
Tampoco está claro cuando llegan estos dulces a la Provenza. Según algunas versiones podría haber sido importado por uno de los cocineros del príncipe francés René d’Anjou / Renato de Anjou (1409-1480), que entre otros títulos fue rey de Nápoles, Sicilia, Aragón y Mallorca. Se cuenta que durante el segundo matrimonio de Renato de Anjou con Jeanne de Laval / Juana de Laval, en 1454, el jefe de la confitería del rey sirvió algunos de estos dulces a la futura reina, que dijo entonces en provenzal “Di calin soun” (que no sé bien cómo traducir, pero para darle cierta gracia me aventuro a traducirlo como “estos son besos”). Por otra parte, en la Wikipedia se cita que el término calisson, con el significado actual, ya aparece en la Provenza en el año 1503. De hecho, la almendra, elemento principal de los calissons, se introdujo en la Provenza en el siglo XVI, por lo que es posible que la introducción del dulce en esta región sea paralela al desarrollo de la producción y comercialización de las almendras.
Fotografía de los calissons dentro de su caja, que me compré en mi reciente visita a Aix-en-Provence. Aunque como vemos la forma de estos calissons es más bien como una vesica piscis y no como un diamante formado por dos triángulos equiláteros. Fotografía: Marian Espinosa
Pero dejemos las cuestiones históricas aparte y vayamos a la cuestión matemática relacionada con estos dulces provenzales. Aunque si os animáis a prepararlos vosotros mismos, podéis encontrar la receta en muchos blogs de postres, o de recetas de cocina, en general.
Fotografía de un plato con calissons, cuya forma es la de un rombo o diamante formado por dos triángulos equiláteros, que hemos tomado de una página francesa de recetas, en la que podéis leer cómo se hacen los calissons. La página de recetas es Odelices.
Demostraciones sin palabras
La primera vez que leí sobre el problema de los calissons fue en el magnífico libro Proofs without words / Demostraciones sin palabras, de Roger B. Nelsen. Este es un tema, el de las demostraciones sin palabras, al que le hemos dedicado varias entradas en el Cuaderno de Cultura Científica, entre ellas:
Las demostraciones sin palabras, como comenta el matemático Roger B. Nelsen –autor del libro Proofs without words / Demostraciones sin Palabras (publicado por la MAA, Mathematical Association of America, en 1993) –, se fueron haciendo populares en la comunidad matemática a raíz de su publicación en las revistas de la MAA, Mathematics Magazine y The College Mathematical Journal, en las que empezaron a aparecer hacia 1975, primero como imágenes de relleno entre artículos y posteriormente como secciones fijas de las revistas. Las demostraciones sin palabras no son realmente demostraciones matemáticas en sí mismas, son más bien diagramas, esquemas o dibujos que nos ayudan a comprender por qué un teorema es cierto o que encierran la idea de la verdadera demostración matemática. Son sugerentes, atractivas y todo un ejercicio de estímulo del pensamiento.
El origen del problema de los calissons y su demostración visual, tema que nos ocupa en esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, es el artículo The problem of calissons, de los matemáticos Guy David y Carlos Tomei, publicado en 1989 en la revista The American Mathematical Monthly (que también es una revista de la MAA, creada en 1894).
El problema de los calissons
Tomando las mismas palabras que utilizaron David y Tomei en su artículo de la revista The American Mathematical Monthly,
“Un calisson es un dulce francés con la forma de dos triángulos equiláteros pegados por uno de sus lados. Los calissons podrían guardarse en una caja con la forma de un hexágono regular, y su empaquetado sugeriría un interesante problema de combinatoria. Supongamos una caja (hexagonal) cuyos lados tienen longitud n que se llena con calissons cuyos lados tienen longitud 1. La diagonal larga de cada calisson en la caja tiene tres posibles orientaciones, como en la imagen.
Las tres posibles orientaciones de los calissons en una caja hexagonal
Nuestro resultado principal es que el número de calissons de cada una de las tres orientaciones es un tercio del número de calissons que entran en la caja (hexagonal).”
El problema de los calissons consiste en cómo demostrar esa afirmación, es decir, que el número de calissons de cada orientación es el mismo, un tercio del total de los calissons que entran en la caja hexagonal. Y lo hermoso de la demostración es que consiste en un argumento intuitivo y visual relacionado con el espacio tridimensional.
Los matemáticos David y Tomei, en su artículo The problem of calissons, toman una caja hexagonal cuyo lado tiene longitud 5 (es decir, n = 5), considerando que los lados del calisson son de longitud 1, que es la imagen que mostramos a continuación, con el objetivo de mostrar que hay la misma cantidad de calissons en cada una de las tres direcciones posibles.
Distribución aleatoria de los 75 calissons que entran en una caja hexagonal cuyo lado tiene longitud 5, considerando que los lados del calisson son de longitud 1, que es la considerada por los matemáticos David y Tomei en su artículo The problem of calissons
La solución consiste en rotar un poco la caja hexagonal para que un vértice quede arriba y colorear cada calisson en función de la orientación que tiene, es decir, los pintamos de tres colores distintos (por ejemplo, en el artículo se utiliza blanco, gris y negro). De esta forma, nuestra imagen de una caja hexagonal rellena con calissons (luego, una imagen esencialmente plana) se convierte en una imagen tridimensional que representa una serie de pequeños cubos apoyados entre tres paredes cuadradas perpendiculares (de tamaño 5 x 5, en el ejemplo de David y Tomei, luego con una superficie de 25 cuadrados, pero en general serán paredes cuadradas con n2 cuadrados), una abajo, otra a la derecha y una tercera a la izquierda. En esta representación tridimensional de pequeños cubos (se verán algunos ejemplos a continuación) puede verse que cada calisson es una cara visible de un pequeño cubo, de manera que todas las caras de un mismo color (que provienen de calissons con la misma orientación) miran en la misma dirección, paralelas a una de las tres paredes sobre las que se apoyan los pequeños cubos. Resulta que todas las caras de pequeños cubos (incluyendo los cuadrados de las paredes de apoyo que no se han cubierto) que miran en una misma dirección son las mismas que todos los cuadrados de la pared de apoyo, por lo tanto, 25 en este caso y n2, en general.
Veámoslo con algunos ejemplos de distribuciones de calissons en una caja hexagonal de tamaño n = 3 (como la que vemos en la siguiente imagen), por lo tanto, que se rellena con 27 dulces con forma de diamante.
Caja hexagonal, cuyo lado mide 3, siendo la medida de los lados de los calissons 1, y los 27 calissons con los que se rellena la caja
A continuación, vamos a rellenar la caja hexagonal (de lado 3) con los 27 calissons, de tres formas distintas y vamos a utilizar el procedimiento anterior (girar ligeramente y pintar con tres colores distintos los calissons en función de su orientación en la caja) para comprobar que en los tres casos la cantidad de calissons en cada orientación es igual a 9.
Ejemplo 1, con los calissons agrupados
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Este argumento visual nos sirve para cualquier tamaño n de la caja hexagonal, en la que introduciremos 3n2 calissons.
En esta misma línea, la imagen que ilustraba la demostración de David y Tomei, con la distribución mostrada arriba, para una caja de tamaño 5, es la siguiente (utilizando blanco, gris y negro).
En consecuencia, se ha demostrado el resultado buscado.
Teorema: En todo empaquetamiento de calissons (con forma de diamante) en una caja hexagonal, la cantidad de ellos con una orientación dada es igual a la tercera parte del total de calissons que se incluyen en la caja.
Distribución de 432 calissons en una caja hexagonal de lado igual a 12, junto con su transformación en una imagen tridimensional, mediante el coloreado –blanco, gris claro y gris oscuro- de los calissons en función de su orientación, y en la que se comprueba que hay la misma cantidad de dulces en cada orientación, en concreto, 144. Imagen del blog Possibly wrong
La demostración que aparece en el artículo de David y Tomei, y que después incluye Nelsen en su libro, es una demostración sin palabras, luego visual e intuitiva, pero no una demostración matemáticamente rigurosa. Sin embargo, sí es posible dar demostraciones más matemáticas de este resultado, y de alguna generalización del mismo, para la cual, además, no es válido el razonamiento visual anterior. Para quienes estéis interesados en la misma (solo se necesita un poco de álgebra de vectores) podéis leerla en el blog Symmetry de Gábor Damásdi.
Bibliografía
1.- Roger B. Nelsen, Demostraciones sin palabras (ejercicios de pensamiento visual), Proyecto Sur, 2001.
2.- Guy David, Carlos Tomei, The problem of the Calissons, American Mathematical Monthly, vol. 96, n. 5, pp. 429-430, 1989.
