Es curioso que cuando vemos una película, escuchamos una canción, leemos un libro o admiramos una obra de arte, a pesar de que todos estamos ante una misma obra, cada uno de nosotros nos fijamos en informaciones distintas de la misma y hacemos conexiones muy personales de esas informaciones con otras que tenemos en nuestra cabeza, lo que hace que cada persona perciba una obra completamente diferente a la que perciben las demás, y más aún, esta acaba siendo una obra única, muy personal y diferente a la concebida inicialmente por sus autores, o autoras, la del espectador.

Y pasado un tiempo, los detalles de la obra que recuerda cada persona son también muy personales. Cada uno de nosotros recordamos cosas muy distintas, y hemos olvidado algunas informaciones que, sin embargo, otras personas sí recuerdan.

Un ejemplo que me gusta contar en relación a lo que recordamos, y no recordamos, pasado un tiempo, por ejemplo, de un libro que hemos leído, es la novela La chica que soñaba con una cerilla y un bidón de gasolina, del escritor sueco Stieg Larsson (Destino, 2008).

Esta novela es la segunda entrega de la exitosa trilogía Millenium. Serie de tres novelas negras protagonizadas por la joven Lisbeth Salander, una peculiar mujer, muy inteligente, pero traumatizada por los acontecimientos de su infancia y juventud, que cautivó a los lectores, y lectoras, de todo el mundo.

Cuando en alguna conversación, o alguna charla que he impartido sobre literatura y matemáticas, menciono que hay referencias matemáticas en la segunda novela de la serie Millenium, muchas de las personas que han leído el libro, y que son muchas, no recuerdan tales referencias, y las que sí lo hacen, tienen un ligero recuerdo de que a su protagonista se le dan bien los ordenadores, y quizás también las matemáticas, o les viene vagamente a la memoria el cubo de Rubik o alguna pequeña referencia a Pitágoras o Fermat.

De esto hablaremos brevemente más adelante, pero antes mencionemos que lo que casi nadie recuerda es que cada una de las cuatro partes en las que se divide la novela tiene un título, junto con un comentario que acompaña al mismo, relacionado con las matemáticas, y más concretamente con las ecuaciones. Esto es debido a que el autor de esta novela policiaca, Stieg Larsson, juega con la idea de que un misterio, asesinato o robo es como una ecuación, y resolver la ecuación es resolver el misterio.

Seguro que muchas de las personas que estáis leyendo estas líneas, y que habéis leído la segunda novela de la serie Millenium, no recordáis estos títulos, y comentarios, de cada una de las cuatro partes en las que se divide la obra. Son los siguientes:

“PRIMERA PARTE:

Ecuaciones irregulares

La clasificación de las ecuaciones se hace en función de la potencia más alta (el valor del exponente) de la incógnita que plantean. Si la potencia es uno, se trata de una ecuación de primer grado; si es dos, nos hallamos ante una ecuación de segundo grado, y así sucesivamente. Las ecuaciones de grado mayor a uno ofrecen varias soluciones a la incógnita. Estas soluciones se llaman «raíces».

Ecuación de primer grado (ecuación lineal): 3x – 9 = 0 (raíz: x=3).”

“SEGUNDA PARTE:

From Russia with love

Normalmente, una ecuación contiene una o varias incógnitas, frecuentemente denominadas x, y, z, etc. Los valores de estas incógnitas, que garantizan la igualdad efectiva de los dos miembros de la ecuación, son los que satisfacen (conforman, configuran) la ecuación o constituyen la solución.

Ejemplo: 3x + 4 = 6x – 2 (Solución: x = 2).”

“TERCERA PARTE:

Ecuaciones absurdas

A las ecuaciones sin sentido, que no son válidas para ningún valor, se las denomina absurdas.

(a + b) (a – b)=a² – b²+1”

“CUARTA PARTE:

Terminator mode

La raíz de una ecuación es un número que introducido en lugar de la incógnita hace de la ecuación una identidad. Se dice que la raíz satisface la ecuación. Para resolver una ecuación uno debe encontrar todas las raíces. Una ecuación que es satisfecha por todos los valores imaginables de las incógnitas se conoce como identidad.

(a + b)² = a² + 2ab + b²”

Es muy interesante que Larsson haya elegido esta temática para nombrar a las diferentes partes de su novela, ya que, en mi opinión, nos está marcando claramente ese paralelismo entre resolver un misterio y una ecuación.

Pero volvamos a las referencias matemáticas que nos encontramos en La chica que soñaba con una cerilla y un bidón de gasolina. Ya en las primeras páginas de la novela se menciona el momento en el que la Lisbeth Salander adulta se ve fascinada por las matemáticas, a través de la astronomía esférica.

“Nueve meses antes, Lisbeth había leído un artículo en la revista Popular Science que alguien había dejado olvidada en el aeropuerto Leonardo da Vinci de Roma. Y, desde ese momento, se sintió extrañamente fascinada por un tema tan raro y desconocido como la astronomía esférica. De manera completamente impulsiva visitó la librería universitaria de Roma y compró algunos de los más importantes tratados sobre el tema. Para comprender la astronomía esférica, sin embargo, se había visto obligada a adentrarse en los más intrincados misterios de las matemáticas. En los viajes realizados en los últimos meses, a menudo había visitado librerías universitarias buscando más libros sobre la materia.”

Y es en esa búsqueda de conocimiento sobre la astronomía esférica, y las matemáticas relacionadas, cuando descubre la joven el libro que le abre todo un fascinante universo matemático, Dimensions in Mathematics, y que se convierte en su libro de cabecera, que se lleva con ella a todas partes.

“Los libros estuvieron metidos en su maleta la mayoría del tiempo, y los estudios fueron asistemáticos y desprovistos de objetivos concretos hasta el momento en que entró en la librería universitaria de Miami y salió con Dimensions in Mathematics, del doctor L. C. Pernault (Harvard University, 1999).”

En cualquier momento que tenía libre, sacaba el libro y se ponía a leer matemáticas.

“Eran las diez y media de la mañana. Memorizó una fórmula matemática de tres líneas de largo y cerró el libro Dimensions in Mathematics. Acto seguido cogió de la mesa la llave de la habitación y el paquete de tabaco.”

“Dejó a un lado la bebida y continuó con la mirada fija en el mar. Al cabo de unos instantes, Lisbeth abrió su bolsa y sacó su Dimensions in Mathematics.”

Sin embargo, a Lisbeth Salander siempre se le habían dado bien las matemáticas.

“A Lisbeth siempre la habían entretenido los rompecabezas y los enigmas. A la edad de nueve años, su madre le regaló un cubo de Rubik. Puso a prueba su capacidad lógica durante casi cuarenta frustrantes minutos antes de darse cuenta, por fin, de cómo funcionaba. Luego no le costó nada colocarlo correctamente. Jamás había fallado en los test de inteligencia de los periódicos: cinco figuras con formas raras y a continuación la pregunta sobre la forma que tendría la sexta. La solución siempre le resultaba obvia.

En primaria había aprendido a sumar y restar. La multiplicación, la división y la geometría se le antojaban una prolongación natural de esas operaciones. Podía hacer la cuenta en un restaurante, emitir una factura y calcular la trayectoria de una granada de artillería lanzada a cierta velocidad y con un determinado ángulo. Eran obviedades.”

Incluso, se narra en el libro alguno de sus problemas en la escuela, y en particular, con una profesora de matemáticas. Es una escena que podría extraerse de la vida de muchos jóvenes, que siendo personas con “altas capacidades”, por ejemplo, en matemáticas, son en ocasiones incomprendidas por sus profesores, e incluso en muchos casos esas personas acaban teniendo graves problemas de comportamiento en el centro escolar (aunque el caso de Lisbeth Salander es más complejo).

“Se mordió el labio inferior y calculó que por aquel entonces ella tenía once años. Recordaba a Miaas, una desagradable sustituta de matemáticas, que en una ocasión se obstinó en que Lisbeth contestara a una pregunta a la que ya había dado una respuesta correcta, pero que, según la solución del libro de texto, era errónea. En efecto, el libro se equivocaba, algo que, para Lisbeth, debería haber resultado obvio a los ojos de cualquier persona. Pero la insistencia de Miaas aumentó de modo inversamente proporcional a las ganas de Lisbeth por reslver el problema. Lisbeth se quedó sentada y se puso de morros, dibujando con la boca, con el labio inferior adelantado, una línea recta. Hasta que, al final, Miaas, de pura frustración, la cogió de los hombros y la zarandeó para despertar su atención. Lisbeth reaccionó tirándole el libro a la cabeza, cosa que provocó un alboroto considerable. Lisbeth le escupió y bufó defendiéndose como gato panza arriba y dando patadas a diestro y siniestro, mientras los compañeros intentaban sujetarla.”

Pero volviendo al libro Dimensions in Mathematics, Lisbeth descubre en este libro todo un maravilloso y fascinante universo, el de las matemáticas. Y descubre también que estas no son lo que ella tenía en su cabeza, no son las matemáticas escolares que ella recordaba y que no le causaban, a priori, mayor emoción.

“Pero hasta que no se sumergió en Dimensions in Mathematics no se abrió ante ella un mundo completamente nuevo. En realidad, las matemáticas eran un lógico rompecabezas que presentaba infinitas variaciones, enigmas que se podían resolver. El truco no se hallaba en solucionar problemas de cálculo. Cinco por cinco siempre eran veinticinco. El truco consistía en entender la composición de las distintas reglas que permitían resolver cualquier problema matemático.”

Pero, ¿cuál era el contenido de este libro que tanto fascinaba a Lisbeth Salander? Como se explica en la novela “no era estrictamente un manual para aprender matemáticas, sino un tocho de mil doscientas páginas sobre la historia de las matemáticas, que iba desde los antiguos griegos hasta los actuales intentos por dominar la astronomía esférica”.

En este libro, Salander leyó sobre el teorema de Pitágoras, “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, , y de la demostración que Euclides mostraba de este resultado en su libro Los Elementos, de los números perfectos (que son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores, como el 6 = 1 + 2 + 3, o 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) y de que pueden escribirse de la forma , sobre Arquímedes, Newton, Fermat o Martin Gardner, pero sobre todo leyó, y se quedó fascinada, sobre el “teorema de Fermat”.

Leyendo el libro Arithmetica de Diofanto, el matemático francés Pierre de Fermat se planteó si, al igual que la ecuación del teorema de Pitágoras, , se cumplía para ternas de números enteros, como (3, 4, 5), (5, 12, 13) o (8, 15, 17), las conocidas como ternas pitagóricas, también sería posible encontrar ternas de números enteros que cumplieran la ecuación de Pitágoras, pero con potencias cúbicas, , e incluso para potencias mayores que tres, , con . Fermat había escrito en uno de los márgenes del libro de Diofanto la siguiente frase (aunque en latín) “Tengo una prueba verdaderamente maravillosa para esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”. Sin embargo, no dejo escrita en ningún lugar, o no se encontró nunca, esa demostración.

A pesar de la afirmación de Fermat, y de que infinidad de matemáticos y matemáticas de todo el mundo intentaron desde entonces demostrar que no existían soluciones, con números enteros, de la ecuación , para , no fue posible demostrar completamente el conocido como “Último Teorema de Fermat” hasta que Andrew Wiles mostró su demostración al mundo en 1995, eso sí, con unas técnicas muy sofisticadas que no existían en la época de Fermat, 350 años antes.

Lisbeth Salander se vio fascinada por esta historia y empezó a trabajar en la demostración del Último Teorema de Fermat, primero probando con algunos números al azar para comprobar si alguna terna podía cumplir la enigmática ecuación , para alguno de los , y luego matemáticamente, de una forma más rigurosa. A lo largo de toda la novela se puede leer como Lisbeth trabaja en la resolución de la conjetura de Fermat. Los avances que consigue y las fórmulas que obtiene las va guardando en un cuaderno que tiene para ese fin.

“Pero esa noche no era capaz de concentrarse ni en Fermat ni en su teorema.”

“Se pasó el desayuno emborronando una servilleta con números y cavilando sobre Pierre de Fermat ().”

“Lisbeth se encontraba tomando café meditando de nuevo sobre el teorema de Fermat cuando…”

O, por ejemplo, en cierto momento que Mikael Blomkvist, el otro protagonista de la serie Millenium, periodista que trabaja en la revista Millenium, descubre el cuaderno de Lisbeth y observa las fórmulas que en él están contenidas y que ella ha ido escribiendo en su camino para encontrar la demostración del resultado de Fermat.

“Mikael abrió y pasó las páginas del cuaderno. […] Aproximadamente las tres cuartas partes del cuaderno estaban llenas de una serie de garabatos que parecían fórmulas matemáticas. Arriba del todo, en la primera página, había una ecuación que incluso Mikael reconocía: . […] Una de las ecuaciones se extendía a lo largo de dos páginas y terminaba con tachaduras y cambios. Le costó decidir, incluso, si se trataba de fórmulas y cálculos matemáticos serios…”

Sin lugar a dudas, la misteriosa historia que hay detrás del Último Teorema de Fermat y en especial el hecho de que este matemático aficionado, ya que era jurista y trabajaba en el Parlamento de Toulousse, anunciara en el margen del libro de Diofanto que tenía una sencilla demostración del resultado matemático, pero que esta nunca apareciera, ha cautivado a muchas personas, dentro y fuera del mundo matemático. Más aún, algunas de las personas que han intentado obtener, con mayores o menores conocimientos matemáticos, la demostración de este resultado, deseaban encontrar una demostración “al estilo Fermat”, es decir, sencilla y con las matemáticas del siglo XVII. Sin embargo, teniendo en cuenta el tiempo que se ha tardado en demostrar el resultado y la complejidad de las matemáticas utilizadas (formas modulares y curvas elípticas), que han sido inventadas mucho tiempo después de Fermat, es bastante probable, por no decir seguro, que Fermat no tenía realmente dicha demostración, o de tenerla, había algún error en la misma.

Este pensamiento romántico es recuperado por Stieg Larsson, quien hace que la protagonista de su novela, Lisbeth Salander, consiga demostrar la conjetura de Fermat, “a la Fermat”, es decir, de forma sencilla y con las matemáticas de la época.

“Y, de pronto, Lisbeth lo comprendió. La respuesta fue de una sencillez que la desarmó por completo. Un juego de cifras que se alineaban en serie y, de súbito, se colocaron en su sitio formando una fórmula que más bien debía verse como un jeroglífico.

Pero Fermat no disponía de ningún ordenador y la solución de Andrew Wiles se basaba en unas matemáticas que ni siquiera se habían inventado cuando el francés formuló su teorema. Él nunca pudo realizar esa prueba que Andrew Wiles presentó. Naturalmente, la solución de Fermat era completamente distinta. […]

«Era eso lo que había querido decir. No es de extrañar que los matemáticos se tiraran de los pelos.» Luego soltó una risita. […]

A Lisbeth le habría encantado conocer a Fermat. Un chulo cabrón.”

Bibliografía

1.- Stieg Larsson, La chica que soñaba con una cerilla y un bidón de gasolina, Destino, 2008.

2.- Raúl Ibáñez, La literatura en la mesilla de un matemático (bilbaíno), Universidad de Alicante (conferencia), 2011.

3.- Exposición de la Real Sociedad Matemática Española El rostro humano de las matemáticas, versión online

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica