La conjetura de Poincaré-Perelman-Miander

Matemoción

Poincaré 1

La conjetura de Poincaré es uno de los siete Problemas del Milenio seleccionados por el Instituto Clay en el año 2000, un siglo después de que David Hilbert enunciara los 23 problemas que llevan su nombre en el II International Congress of Mathematicians celebrado en París en 1900.

La conjetura de Poincaré –el único de los siete problemas resuelto a día de hoy– es un enunciado de topología, de formulación relativamente sencilla de entender, y cuya resolución ha precisado el desarrollo de nuevos y complejos métodos matemáticos.

La conjetura de Poincaré (1904) dice quetoda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera S3(ver [2] y [6]).

En el caso de dimensión n >1 –la circunferencianoes simplemente conexa, es decir, los caminos cerrados sobre S1 no pueden ‘deformarse’ a un punto– existe un enunciado similar: Toda variedad de dimensión n cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera Sn.

Para n=2 –gracias a la clasificación topológica de las superficies cerradas– el resultado se demostró en el siglo XIX y, de hecho, fue el que llevó a Henri Poincaré a enunciar su conjetura. En 1961, Christopher Zeeman probó la validez del resultado para n=5 y Stephen Smale la demostró para n≥7. El caso n=6 fue resuelto por John R. Stalling en 1962, y en 1986 Michael Hartley Freedman la probó en el caso n=4, lo que le valió conseguir una Medalla Fields. Desde ese momento, el único caso por resolver era el correspondiente a n=3, es decir, la conjetura de Poincaré. Tras la demostración dada por Grigori Perelman en 2003 –anunciada en 2002 a través de dos preprints [4] y [5], y verificada posteriormente por varios expertos–, este enunciado topológico propuesto por Henri Poincaré dejó de ser una conjetura, para pasar a ser un teorema (ver [1]).

En el XXV International Congress of Mathematicians (ICM2006) celebrado en 2006 en Madrid se anunció la concesión de la Medalla Fields a Perelman, honor que rechazó, así como el millón de dólares que le correspondían por haber resuelto la conjetura de Poincaré. Este comportamiento –extraño en opinión de muchas personas– provocó que el ICM2006 llegara al gran público: en la calle, en los bares o en el transporte público, se podían escuchar animadas conversaciones criticando o aplaudiendo a ese ‘extravagante matemático que había dejado escapar esa formidable cantidad de dinero’.

La imagen que abre este texto pertenece al cómic La Conjetura de Poincaré, publicado en 2008, con guión de Raule e ilustraciones de Saurí: supongo que el insólito proceder del genial Perelman llevaría al también genial Raule a conocer la historia de la conjetura de Poincaré y de las personas implicadas, y a interesarse por ellas.

El protagonista de esta novela gráfica es el joven matemático Pol Miander, que acepta un trabajo como farero buscando la tranquilidad necesaria para intentar resolver la conjetura de Poincaré, cuyo final piensa que está muy cerca.

Comienzo del cómic: Viaje al pasado con la conferencia de Henri Poincaré ¿Qué es la creación matemática?, Sociedad Psicológica de París.
Comienzo del cómic: Viaje al pasado con la conferencia de Henri Poincaré ¿Qué es la creación matemática?, Sociedad Psicológica de París.

Una serie de extraños incidentes se van sucediendo, en una historia en la que la aventura y las matemáticas van de la mano. Puede leerse una larga reseña en [3] aunque, por supuesto, os recomiendo leer el cómic (ver [7]).

Henri Poincaré se aparece a Pol en diferentes momentos, unas veces para animarle en su investigación y otras para reprocharle su falta de dedicación.

No es por presionarlo, joven, pero tiene mi conjetura bastante abandonada. Y me consta que Perelman está a punto de dar con la solución. […] El pensamiento es sólo un relámpago en medio de la larga noche, joven, pero ese relámpago lo es todo.
No es por presionarlo, joven, pero tiene mi conjetura bastante abandonada. Y me consta que Perelman está a punto de dar con la solución. […]
El pensamiento es sólo un relámpago en medio de la larga noche, joven, pero ese relámpago lo es todo.
Pol transmite de manera impecable el esfuerzo que requiere la investigación matemática, la frustración en muchos momentos, y a la vez la seducción que un tal reto intelectual produce.

En un momento de amenaza, los protagonistas de la historia deben huir, y Pol cae en un pozo. Atrapado, sin poder escapar, el joven matemático saca sus papeles –nunca se separaba de ellos: representaban años de intensa dedicación–, vuelve al trabajo y consigue encontrar la anhelada respuesta a la conjetura. Resignado ante su destino, pero feliz por su ansiado teorema, espera el final de sus días.

Pero Pol no muere. Despierta en un hospital, donde descubre que Perelman había resuelto la fórmula del millón de dólares. Pol se alegra por Perelman; de hecho los papeles con su prueba de la conjetura de Poincaré-(Perelman-Miander) le habían salvado la vida: sin esperanza de sobrevivir en el fondo del pozo, Pol los había quemado, atrayendo el fuego a los equipos de rescate…

Estaba convencido de que había llegado mi hora. Aun así, no pude resistirme a un último acto de supervivencia. […] Mientras quemaba mi trabajo, mi vida entera, casi sonrío al pensar que aquel gesto inútil tenía algo de poético.
Estaba convencido de que había llegado mi hora. Aun así, no pude resistirme a un último acto de supervivencia. […]
Mientras quemaba mi trabajo, mi vida entera, casi sonrío al pensar que aquel gesto inútil tenía algo de poético.
Referencias

[1] Esther Cabezas Rivas y Vicente Miquel Molina,Demostración de Hamilton-Perelman de las Conjeturas de Poincaré y Thurston, La Gaceta de la RSME 9.1 (2006) 15-42

[2] María Teresa Lozano Imízcoz, La Conjetura de Poincaré. Caracterización de la esfera tridimensional, Monografías de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza26 (2004)105-112

[3] Marta Macho Stadler, La Conjetura de Poincaré, por Raule (guión) y Josep Ma Martín Saurí (dibujo), DivulgaMAT, Literatura y Matemáticas, 2011

[4] Grigori Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv:math/0211159v1

[5] Grigori Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, arXiv:math/0303109v1

[6] Joan Porti,La Conjetura de Poincaré, Revista Números 43-44(2000)29-34

[7] Raule y Saurí, La Conjetura de Poincaré, Diábolo, 2008

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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