Las dos culturas de las matemáticas: construir teorías o resolver problemas

Matemoción

El matemático británico William Timothy Gowers, fellow del Trinity College, de la Universidad de Cambridge, y Medalla Fields en 1998, en su magnífico ensayo Las dos culturas de las matemáticas, divide a las personas que hacen matemáticas, principalmente dentro del ámbito de la matemática pura, en dos grupos, aquellas “cuyo objetivo central es resolver problemas” y las que están “más interesadas en construir y comprender teorías”.

William T. Gowers utiliza la expresión “las dos culturas de las matemáticas”, en referencia a la famosa conferencia del físico y escritor Charles Percy Snow, de 1959, sobre la brecha existente entre las ciencias y las humanidades, la falta de comunicación entre ambas y la asimetría entre los conocimientos considerados como parte de la cultura (sobre las dos culturas escribí una pequeña reflexión al respecto para la revista CIC-Network, La cultura científica o la misteriosa identidad del señor Gauss). Para este matemático, que estaría entre los que resuelven problemas, existe una situación similar dentro de las matemáticas, entre estas “otras dos culturas”, estas dos formas de entender la ciencia de Pitágoras.

Por si algún matemático o matemática no está segura de a cuál de los dos grupos pertenece, Gowers plantea un sencillo test. Se trata de leer las dos afirmaciones que aparecen más abajo, A y B, y en función de con cuál de las dos se esté de acuerdo se pertenecerá a una u otra clase.

A. La finalidad de resolver problemas es comprender mejor las matemáticas.

B. La finalidad de comprender las matemáticas es estar más capacitados para resolver problemas.

Fotografía del matemático británico William Timothy Gowers, tomada por el fotógrafo Marc Atkins para la exposición Faces of Mathematicians, que puede verse aquí.

Muchas personas del ámbito de las matemáticas, al leer ambas afirmaciones, es probable que piensen que en ambas hay parte de razón, pero también es cierto, como comenta Gowers, que la mayoría se decantarán más por una u otra forma de ver las matemáticas.

Como ejemplo de matemático de la clase de los que construyen teorías, Gowers cita al británico Sir Michael F. Atiyah, uno de los grandes geómetras de la segunda mitad del siglo XX, en abril (de 2019) cumplirá 90 años, que entre otros muchos premios recibió la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004, y que además, desarrolló su investigación matemática en instituciones como las universidades británicas de Cambridge y Oxford, o el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE.UU.).

Fotografía del matemático británico Sir Michael F. Atiyah, tomada por el fotógrafo Marc Atkins para la exposición Faces of Mathematicians, que puede verse aquí.

Para ilustrar su afirmación utiliza la siguiente reflexión del propio Sir Michael Atiyah, aparecida en una entrevista en Mathematical Intelligencer en 1984, sobre su forma de trabajar en matemáticas.

Hay quien piensa: “Quiero resolver este problema”, y se sienta y dice: “¿Cómo resuelvo este problema?” Yo no. Simplemente me muevo entre las aguas matemáticas, pienso en cosas, soy curioso, me intereso, hablo con la gente, doy vueltas a las ideas; entonces surge algo y yo lo sigo. O quizá veo algo que conecta con algo que conozco, intento ponerlo junto y se desarrolla. Prácticamente nunca he empezado con una idea de lo que voy a hacer o de dónde me va a llevar. Me interesan las matemáticas; hablo, aprendo, discuto y simplemente surgen preguntas interesantes. Nunca he empezado con un fin particular, excepto el de entender las matemáticas.”

Es esta “cultura”, la de personas que están más interesadas en construir y comprender teorías, la que predomina en la actualidad. Una visión de las matemáticas que muestra esta ciencia como un gran árbol cuyas fuertes ramas son las grandes teorías matemáticas, con sus estructuras y sus teoremas.

Por ejemplo, si fijamos nuestra atención en el listado de las personas que han sido galardonadas con el Premio Abel de las Matemáticas (que a día de hoy podríamos considerar como el “Premio Nobel” de esta ciencia y que se concede desde 2003) encontramos muchos constructores de teorías, entre otros, el matemático francés Jean-Pierre Serre (que recibió el Premio Abel en 2003 “por jugar un papel esencial en dar forma a la visión moderna de muchas partes de las matemáticas, incluyendo la topología, la geometría algebraica y la teoría de números”), el matemático ruso Mijail Gromov (en 2009 “por sus revolucionarias contribuciones a la geometría”), o el matemático británico Andrew Wiles (en 2016 “por su asombrosa demostración del último teorema de Fermat por medio de la conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, abriendo una nueva era en la teoría de números”).

Dentro del grupo de quienes resuelven problemas, W. T. Gowers cita a la más famosa de todas las personas de esta categoría, al matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996), a quien el matemático germano-estadounidense Ernst Straus (1922-1983) describió, con motivo de la celebración de su 70 cumpleaños, como “el príncipe de los que resuelven problemas y el monarca absoluto de quienes saben proponer problemas”.

Los problemas que plantea Erdös, o en los que suele fijar su atención, suelen tener un enunciado relativamente sencillo o fáciles de entender, pero muy difíciles de resolver, y además, muchos de ellos acaban teniendo una gran profundidad matemática y científica. Por citar un ejemplo que aparece en una entrada del Cuaderno de Cultura Científica, cierto problema sobre cómo colorear las aristas de un grafo con dos colores, acabó dando lugar a una importante teoría de la combinatoria, como es la teoría de Ramsey. Véase la entrada El juego del Sim, o alguno de los dos libros Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos o How to count, an introduction to combinatorics.

Fotografía de Paul Erdös, perteneciente al documental N is a number. A portrait of Paul Erdös (1993), del cineasta George P. Csicsery

Dentro de los galardonados con el Premio Abel también nos encontramos algún matemático que comparte la filosofía de Paul Erdös, como el húngaro Endré Szemerédi (en 2012 “por sus contribuciones fundamentales a la matemática discreta y a las ciencias de la computación teóricas”), aunque no son mayoría.

De hecho, las personas “cuyo objetivo central es resolver problemas” suelen ser criticadas por el colectivo defensor de la construcción de teorías porque en opinión de estas, las primeras simplemente se dedican a resolver o jugar con divertimentos matemáticos. En palabras de Atiyah “se dedican simplemente a mariposear. Si se les pregunta que persiguen con ello, cuál es la relevancia, con qué se relaciona, veremos que no lo saben”.

Sin embargo, sin pretender profundizar sobre la cuestión, una de las grandes aportaciones de las personas que se dedican a resolver problemas, independientemente de si estos llevan o no a profundos resultados, teoremas o estructuras, como realmente ocurre en muchas ocasiones, podríamos decir que es transversal. Por ejemplo, esta forma de trabajar en matemáticas aporta unas capacidades, unas metodologías, unas técnicas, unos tipos de argumentos y unas maneras de afrontar la resolución de problemas o la demostración de resultados matemáticos, de teoremas, que una vez desarrolladas se convierten en potentes herramientas en diferentes ramas de las matemáticas. Por mencionar algún ejemplo, a riesgo de parecer un poco simple, pensemos en el principio del palomar (una pequeña introducción sobre el mismo se puede encontrar en las entradas El principio del palomar, una potente herramienta matemática, parte 1 y parte 2) o en los grafos, de una gran sencillez, pero profundas herramientas en muchos campos de las matemáticas y de la ciencia.

Pero volviendo al brillante matemático Paul Erdös y su relación con la resolución de problemas, Ernst Straus, otro de los pertenecientes a la cultura de la resolución de problemas y que durante un tiempo fue ayudante del físico germano-estadounidense Albert Einstein (1879-1955), explicó que el motivo por el cual Einstein eligió la física sobre las matemáticas era que las matemáticas estaban repletas de cuestiones tan bellas y atractivas que uno podía tirar a la basura su vida trabajando en los problemas “equivocados” y no en las cuestiones realmente importantes, “centrales”, las cuales eran más fácil de identificar dentro de la física.

Mítica fotografía de Albert Einstein sacando la lengua, del fotógrafo estadounidense Arthur Sasse, que se ha convertido en una de las imágenes icónicas del siglo XX. La historia de esa fotografía y su utilización en publicidad la podéis leer en el artículo Albert Einstein-primera parte de la sección Publicidad y Matemáticas de la web DivulgaMAT

Sin embargo, la filosofía de Paul Erdös no coincidía con la de Albert Einstein, como explica Straus.

Erdös ha violado sistemáticamente y de forma exitosa cada una de las prescripciones de Einstein. Ha sucumbido a la seducción de todos los problemas que ha encontrado –y una gran cantidad de ellos han sucumbido a su vez a él. Esto mismo me demuestra que en la búsqueda de la verdad hay lugar para Don Juanes como Erdös y Sir Galahads como Einstein

Es decir, las matemáticas necesitan personas de las dos culturas dedicadas a la investigación matemática, las que construyen teorías y las que resuelven problemas.

Fotografía del International Congress of Mathematicians, celebrado en Cambridge (EE.UU.) en 1950

Este es solamente un pequeño apunte sobre el interesante debate existente sobre las dos culturas de las matemáticas y recomiendo a quienes puedan estar interesadas en el mismo, que vayan a la fuente original, al artículo de W. T. Gowers, ya sea en su versión original en inglés o su traducción al castellano en la GACETA de la RSME.

Terminamos con una cita del excéntrico matemático, del que hablaremos en una próxima entrada del Cuaderno de Cultura Científica, Paul Erdös.

¿Por que los números son hermosos? Es como preguntar por qué la novena sinfonía de Beethoven es hermosa. Si no ves por qué lo es, nadie puede decírtelo. Yo sé que los números son hermosos. Si ellos no lo son, nada lo es.

Bibliografía

1.- William Timothy Gowers, Las dos culturas de las matemáticas, La GACETA de la RSME, vol. 7.2, pag. 371–386, 2004 (publicado originalmente como The Two Cultures of Mathematics, en Mathematics: Frontiers and Perspectives, V.I. Arnold, M. Atiyah, P. Lax y B. Mazur (eds.), AMS, 1999).

2.- Raúl Ibáñez, La cultura científica o la misteriosa identidad del señor Gauss, CIC-Network, n. 8, pag. 14-17, 2010. (versión online en el Cuaderno de Cultura Científica)

3.- Exposición Faces of Mathematics, por Marc Atkins (fotografía y producción de video) y Nick Gilbert (coordinador del proyecto). Faces of Mathematics ha sido organizada por el Engineering and Physical Sciences Research Council (Gran Bretaña).

4.- El Premio Abel de las Matemáticas

5.- Joel Spencer, Erdös Magic, perteneciente al libro The Mathematics of Paul Erdös I, editado por R. L. Graham, J. Nesetril, S. Butler, Sringer, 2013.

6.- Raúl Ibáñez, Albert Einstein-primera parte, sección Publicidad y Matemáticas de la web DivulgaMAT, 2012.

7.- Béla Bollobás, Paul Erdös: Life and Work, perteneciente al libro The Mathematics of Paul Erdös I, editado por R. L. Graham, J. Nesetril, S. Butler, Sringer, 2013.

8.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, colección El mundo es matemático, RBA, 2015.

9.- R. B. J. T. Allenby, Alan Slomson, How to count, an introduction to combinatorics, CRC Press, 2011.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

7 comentarios

  • Avatar de Adriana Curutchet

    Tuve la suerte de conocer personalmente a Paul Erdos, fue el primo de una gran amiga, Agnes Erdos Sanger, Cenamos con el muchas veces. Paul creia en la belleza de las matematicas, yo estaba haciendo mi doctorado en Teologia y me convencio que las Matematicas pueden probar la existencia de Dios. Gracias a su apoyo empece a estudiar matematicas en serio y en especial el estudio del concepto de infinito. Unico en su generacion, una gran persona. Era gimnasia mental seguir las conversaciones de Agy y Paul, Agy, habia estudiado medicina y las discusiones empezaban en Ingles, pasaban por el aleman y terminaban en Hungaro. Paul aparecia sin aviso, pero siempre me dejaba mensajes indicando los libros que tenia que leer. Siempre recuerdo ese periodo con gran afecto. No era eccentrico sino totalmente enfocado, su capacidad de atencion era increible, A veces se alejaba para escribir alguna idea. Era el momento de respetar su silencio. Genio total!

  • Avatar de Juan Carlos Odriozola Pereira

    En realidad, cuando uno comprende que por ejemplo el número pi existía anteriormente a la especie humana, puesto que es un número invariable para las esferas de todos los tamaños que existen en la naturaleza, siente que la ciencia toca no ya a una religión concreta sino a un tipo de espiritualidad que me resulta muy difícil de definir.

    • Avatar de Javi Duoandikoetxea

      La realidad de los conceptos matemáticos nos llevaría a otro debate. Pero el número pi no existe fuera de la mente humana. Los objetos geométricos son ideales, a veces inspirados en la naturaleza, y pueden servir para representar aproximadamente objetos reales. El número pi aparece en los círculos, en las esferas y en otros objetos matemáticos, pero no está en el mundo real. No solo no es anterior a la especie humana, sino muy posterior a su aparición.

  • Avatar de Mariano Santander

    ¿Puedo sugerir una lectura que complementa, como anillo al dedo, la excelente exposición hecha por Raúl sobre la polaridad, presente desde siempre en las matemáticas que se describe esquemáticamente ‘teorías vs problemas’? Se trata del artículo ‘Birds and Frogs’, escrito por Freeman Dyson y publicado en las ‘Notices of the American Mathematical Society’ Feb. 2009, p. 212-223. El artículo está accesible en la web de la AMS

    https://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf

    y está escrito con conocimiento del asunto y analizando contribuciones de varios matemáticos destacados clasificables como pájaros o ranas. El artículo de Dyson merece realmente la lectura. Reproduzco su comienzo:

    Some mathematicians are birds, others are frogs. Birds fly high in the air and survey broad vistas of mathematics out to the far horizon. They delight in concepts which unify our thinking and bring together diverse problems from different parts of the landscape. Frogs live in the mud below and see only the flowers that grow nearby. They delight in the details of particular objects and they solve problems, one at a time […] Mathematics needs both birds and frogs.

    • Avatar de Raúl Ibáñez

      Muchísimas gracias Mariano por la sugerencia, y por tu mensaje. Acabo debajarme el documento. Ya tengo lectura para esta noche.
      Un fuerte abrazo, Raúl.

    • Avatar de Raúl Ibáñez

      Hola Javier,
      La cita pertenece a la celebración del 70 cumpleaños de Paul Erdos. Yo la leí en un par de artículos sobre Erdos. Uno es “Erdos Magic” de Joel Spencer y el otro “Paul Erdos: Life and work” de Bela Bollobas.
      Un abrazo, Raúl.

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