Los cuadrados de MacMahon, introducidos por el matemático y militar británico Percy Alexander MacMahon (1854–1929) en su libro New Mathematical Pastimes / Nuevos pasatiempos matemáticos (1921), han demostrado ser una herramienta recreativa muy versátil. Además del interesante rompecabezas original creado por el matemático británico, sobre el que versa la entrada Los cuadrados de MacMahon, estos coloridos cuadrados han dado lugar a muchos otros rompecabezas, algunos de los cuales acabaron siendo comercializados por alguna empresa de juegos, como los cubos de Nelson, de los que hablamos en la entrada El rompecabezas de los cuatro cubos de Nelson, o los juegos comerciales Pohaku y Multimatch I, de los que vamos a escribir en esta entrada.

Los cuadrados de MacMahon

El matemático británico Percy A. MacMahon se planteó de cuántas formas distintas, salvo rotaciones, se puede colorear el cuadrado dividido en cuatro partes iguales por sus dos diagonales utilizando tres colores y observó que es posible hacerlo de 24 maneras distintas, que dan lugar a los 24 cuadrados de MacMahon, que pueden verse en la siguiente imagen.

El interesante rompecabezas creado por MacMahon consiste en construir un rectángulo de 4 filas y 6 columnas con las 24 fichas del mismo, de manera que cuando dos fichas tienen un lado en común el color de las regiones triangulares que comparten ese lado, en los dos cuadrados, tiene que ser el mismo (regla 1) y, además, todo el perímetro, es decir, todas las regiones triangulares que forman el perímetro del rectángulo, tiene que ser de un mismo color, ya sea este, verde, azul o amarillo (regla 2). Para más información sobre este juego de ingenio puede leerse la mencionada entrada Los cuadrados de MacMahon.

Pero la diversión no termina con el mencionado rompecabezas de los cuadrados de MacMahon, como se comentaba al inicio de esta entrada, sino que estos cuadrados han dado lugar a otros juegos y rompecabezas, entre ellos, los dos que vamos a presentar en esta entrada.

Además, este rompecabezas tiene la ventaja de que pueden construirse físicamente sus fichas, con papel (si prefieres imprimirlas te dejamos aquí el pdf Las piezas del rompecabezas con las 24 fichas [Las-piezas-del-rompecabezas.pdf]), cartulina, madera o cualquier otro material que se te ocurra.

Pohaku, un juego de estrategia

El matemático, programador informático y diseñador de juegos de ingenio estadounidense Harry Lewis Nelson (1932), colaborador habitual de la revista Journal of Recreational Mathematics, de la que fue editor durante cinco años, creó el juego Pohaku, que es un juego de estrategia que hace uso de los 24 cuadrados de MacMahon. Este juego fue comercializado en 2008 por la empresa Norman & Globus, en su línea de materiales educativos ScienceWiz.

El juego comercializado por ScienceWiz incluía un libro, de 40 páginas, con las reglas de cuatro juegos distintos, el domino Pohaku, el Pohaku estándar, el Pohaku 5 x 5 y el Pohaku toroidal, además de las reglas de 26 rompecabezas adicionales, entre ellos algunos rompecabezas deslizantes y “rompecabezas de patrones”, como se observa en la siguiente publicidad del juego.

Por desgracia el juego está agotado y el libro de las reglas de sus juegos y rompecabezas no se puede adquirir. Aunque sí tenemos conocimiento de las reglas del Pohaku (para dos personas) al que se puede jugar en la página web de la empresa ScienceWiz, que son las siguientes.

1. Se colocan las fichas boca abajo, se mezclan bien y cada jugador coge cuatro fichas, que solo él puede ver, mientras el resto permanecen boca abajo en un lateral.

2. Uno de los jugadores coloca una primera ficha boca arriba en el centro. Entonces, por turnos, cada jugador coloca una de sus piezas de manera que toque una o varias fichas del centro, por uno o varios lados, en cuyo caso, los lados de contacto deberán compartir el mismo color (regla 1), o por un vértice. Si no se tiene ficha para colocar se debe tomar una del montón lateral.

3. Si la ficha colocada toca solo un vértice o un lado, el jugador debe coger otra ficha del montón lateral, pero si toca dos o más lados, entonces no tiene que coger ninguna ficha (teniendo así una menos que antes).

4. Gana el jugador que se queda sin fichas. Si antes se gastan las fichas laterales será empate.

Por otra parte, en la publicidad del juego, que vemos en la imagen de arriba, puede verse uno de los rompecabezas deslizantes, el que consiste en utilizar las ocho primeras piezas (según la numeración del Pohaku), que podéis ver en la siguiente imagen.

Como podemos observar en la anterior imagen, este rompecabezas deslizante consiste en un “tablero” 3 x 3, sobre el que están colocadas ocho fichas, dejando un hueco libre (abajo a la derecha en el tablero de la imagen), para poder mover/deslizar las fichas.

Cada movimiento del rompecabezas consiste en el desplazamiento, en horizontal o vertical, de una pieza del mismo (en este son ocho cuadrados de MacMahon) adyacente al espacio vacío, ocupándolo y dejando vacío el espacio en el que estaba la pieza movida. Así, en la posición inicial de la imagen anterior, hay dos movimientos posibles, mover la ficha de arriba del espacio libre (cuyos colores, en el sentido de las agujas del reloj, son amarillo, amarillo, azul y verde) hacia abajo o mover la ficha que está a la izquierda del espacio libre (de colores amarillo, verde, amarillo y azul) hacia la derecha.

El objetivo del juego es conseguir llegar a una configuración en la cual se cumpla la regla 1 del rompecabezas de MacMahon, es decir, que cuando dos fichas tienen un lado en común el color de las regiones triangulares que comparten ese lado, en los dos cuadrados, tiene que ser el mismo.

Aunque no disponemos de las fichas y posiciones iniciales de los otros rompecabezas deslizantes del Pohaku, os animamos a que vosotros mismos os retéis con otros grupos de ocho fichas.

Multimatch I

Nuestro siguiente juego basado en los cuadrados de MacMahon, el Multimatch I, fue creado por el ingeniero estadounidense Wade E. Philpott (1918-1985), quien demostró, con ayuda del ordenador, que el rompecabezas de MachMahon tiene 13.328 soluciones diferentes (salvo simetrías), quien realizó una sencilla versión comercial en 1966. En 1982 Philpott llegó a un acuerdo con la estadounidense, nacida en Hungría, Kate Jones (1939), fundadora y presidenta de la pequeña empresa de juegos Kadon Enterprises (esta empresa también comercializó el juego Vee-21 que hemos explicado en la entrada Embaldosando con L-triominós (Un ejemplo de demostración por inducción)), para comercializar el juego de Philpott. En 1986, Kadon comercializaría una nueva versión del Multimatch I, diseñada conjuntamente por Philpott y Jones.

Como en el caso del Pohaku, el juego comercializado por la empresa Kadon Enterprise, incluía un libro con las reglas de cuatro juegos distintos, el Multimatch, el Bingo, el Outmatched (superado) y el Clousure (cierre), este último no estaba en el juego original, además de las reglas de algunos rompecabezas adicionales.

El tablero del Multimatch es una cuadrícula 5 x 5, es decir, 25 casillas cuadradas, cada una del tamaño de las piezas del juego, los 24 cuadrados de MacMahon. Las reglas del juego para dos jugadores son las siguientes:

Los jugadores, por turnos, van colocando las fichas, una a una, sobre el tablero, de manera que se vaya cumpliendo la regla 1. Además, la primera ficha colocada en el borde determina el color del mismo, para que se cumpla la regla 2. Gana el último jugador en colocar una ficha.

Este juego se basa en el siguiente rompecabezas, al que también puede jugarse. El objetivo es colocar las 24 piezas del juego (cuadrados de MacMahon) sobre el tablero cuadrado 5×5, de manera que se cumplan las reglas 1 y 2, dejando una casilla vacía, que puede ser la central o cualquier otra, como se muestra en la siguiente imagen.

Como siempre que hablamos de juegos y rompecabezas, os animamos a que construyáis las fichas de estos juegos (Las-piezas-del-rompecabezas) y os divirtáis jugando a los mismos.

Bibliografía:

1.- Percy A. MacMahon, New Mathematical Pastimes, Cambridge University Press, 1921 (puede obtenerse una copia en pdf a través de la biblioteca digital Internet Archive [archive.org]).

2.- Martin Gardner, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza editorial, 2018.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica