El triángulo áureo de Kepler

Esta semana santa (de 2026) he estado leyendo sobre el interés de algunos artistas pertenecientes a las vanguardias del siglo xx (del cubismo al surrealismo) en la proporción áurea, cuando me he encontrado con una referencia al uso del triángulo de Kepler por parte de alguno de ellos. Y me ha parecido una buena idea dedicar esta entrada a explicar qué es el triángulo de Kepler y su relación con la divina proporción.

La extrema y media razón

Empecemos recordando, aunque ya lo hemos explicado en varias ocasiones, qué es la razón áurea.

En el libro VI de la gran obra de la matemática griega y universal Los Elementos del matemático griego Euclides de Alejandría (aprox. 325-265 a.n.e.), se define el concepto de extrema y media razón, que es como se denominó inicialmente a la razón áurea o divina proporción. La definición que se incluye en Los Elementos es la siguiente:

Se dice que un segmento de recta está dividido en extrema y media razón cuando la longitud del segmento total es a la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor.

Es decir, si tenemos un segmento como el que aparece en la siguiente imagen, buscamos el punto del mismo que divide al segmento en dos partes, de longitudes a y b, de forma que la proporción o razón (división) entre la parte mayor y la menor, a / b es igual a la proporción entre la longitud del segmento y la parte mayor (a + b) / a.

Ahora, si se denota por ϕ (Phi) al cociente a/b, la condición anterior se puede escribir como la ecuación algebraica siguiente:

Esta es una ecuación algebraica de segundo grado, cuyas soluciones, sin más que utilizar la conocida fórmula de resolución de la misma que se estudia en la enseñanza secundaria, son

Al número ϕ (Phi), solución positiva de la anterior ecuación, cuyos primeros dígitos son

1,618033988749894848204586834365…,

se le conoce con varios nombres, además de “extrema y media razón”, como número áureo, divina proporción o razón áurea.

Construcción de la extrema y media razón

Veamos un método geométrico de división de un segmento AB, de longitud l, en extrema y media razón. Primero trazamos un segmento de longitud la mitad del segmento inicial, es decir, l / 2, que sea perpendicular al segmento AB y apoyado en uno de sus extremos, por ejemplo, en el punto B, de manera que el otro extremo de ese segmento es un punto C que, junto a los puntos A y B, determina un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente imagen.

A continuación, se traza una circunferencia, centrada en el vértice C y de radio l / 2, es decir, que pasa por el punto B, y se considera la intersección de la misma con el segmento AC, la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, que es el punto que hemos denominado D en la siguiente imagen.

Para terminar, se traza la circunferencia, centrada en el vértice A (el extremo opuesto a aquel sobre el que se apoya el segmento perpendicular) y que pasa por el punto D, entonces el punto de intersección con el segmento AB, punto al que hemos llamado EMR en la imagen, es el punto que divide al segmento AB en extrema y media razón.

No es difícil, aunque no lo vamos a hacer en esta entrada, demostrar que efectivamente el punto EMR es el punto que divide el segmento AB en extrema y media razón.

Johannes Kepler y la razón áurea

Para el astrónomo, matemático y físico alemán Johannes Kepler (1571-1630) existían dos grandes tesoros en la geometría, uno era el teorema de Pitágoras, mientras que el otro era la división de un segmento en extrema y media razón, es decir, la existencia de la razón áurea. La expresión concreta que aparece en su libro Mysterium Cosmographicum / Misterio cosmográfico (1596), junto con una pequeña nota del propio autor, es la siguiente:

… hay dos tesoros de la geometría: uno es la relación entre la hipotenusa de un triángulo rectángulo y sus catetos, y el otro es la recta dividida en la proporción media y extrema (17).

(17) […] el primero —que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa—, ese, digo, puede compararse con razón a una masa de oro; el segundo, sobre la división proporcional, puede llamarse una joya […].

Kepler siempre estuvo interesado en la razón áurea. Por ejemplo, descubrió la relación que existe entre la razón áurea y los números de Fibonacci, en concreto, que el número de oro es el límite del cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, como escribió en su en su hermoso texto Sobre el copo de nieve hexagonal (1611):

De los dos mayores poliedros regulares, el dodecaedro y el icosaedro, el primero está formado precisamente por pentágonos, y el segundo por triángulos, pero triángulos que se encuentran cinco en un vértice. Ambos poliedros, y el pentágono en sí mismo, no pueden ser construidos sin lo que los geómetras modernos llaman divina proporción [la sección de oro]. Esta se construye mediante una sucesión cuyo tercer término es la suma de los dos anteriores en una serie que progresa indefinidamente. Es imposible proporcionar un valor exacto en números redondos. Sin embargo, conforme avanzamos desde el número uno, el valor se va haciendo cada vez más perfecto. Sean los números más pequeños 1 y 1, que usted debe imaginarse como desiguales. Añádalos, y la suma será 2; añada a esto el uno superior y obtendrá 3; añada 2 a esto, y póngase 5; añada 3, póngase 8; 5 a 8, 13; 8 a 13, 21. Como 5 es a 8, entonces 8 es a 13, aproximadamente, y como 8 a 13, entonces 13 es a 21, aproximadamente.

[Johann Kepler, Strena seu de nive sexangula, edición de Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile, editorial Avinareta, 2011)]

El triángulo de Kepler

Johannes Kepler en una carta dirigida al astrónomo y matemático alemán Michael Maestlin (1550-1631), fechada en octubre de 1597, escribía lo siguiente:

Si, en un segmento recto dividido en su extrema y media razón, se construye un triángulo rectángulo, de manera que el vértice del ángulo recto quede sobre la perpendicular trazada desde el punto de extrema y media razón, entonces el lado menor adyacente al ángulo recto será igual a la parte mayor del segmento recto.

Veamos qué significa la anterior afirmación de Kepler. Para empezar, se considera un segmento AB que se divide en extrema y media razón, mediante un punto que denominamos M en la siguiente imagen, es decir, AM / MB = AB / AM. Entonces se trata de construir un triángulo rectángulo ABC, tal que AB sea la hipotenusa, C el vértice con el ángulo recto (90 grados) y MC sea perpendicular a AB (es decir, MC es la altura que pasa por C), como en la siguiente imagen.

Kepler afirma que, en estas condiciones, entonces “el lado menor adyacente al ángulo recto” CB es igual a “la parte mayor del segmento recto” AM. Si se considera que el valor del segmento MB es la unidad (1), como en la siguiente imagen, entonces los segmentos CB y AM tienen una longitud igual al número de oro ϕ (Phi).

Al triángulo rectángulo ABC tal que “el lado menor adyacente al ángulo recto” CB es igual a “la parte mayor del segmento recto” AM, se le denomina triángulo de Kepler.

Los dos tesoros de la geometría

Vamos a tener ahora en cuenta los dos tesoros de la geometría, según Kepler, el teorema de Pitágoras y la existencia de la extrema y media razón de un segmento, aunque este a través del triángulo de Kepler.

Consideremos ahora el triángulo de Kepler asociado a un segmento recto AB, pero consideremos que es el segmento CB el que mide la unidad (1), entonces el segmento inicial AB tendrá longitud igual a ϕ (Phi), por la división del segmento en extrema y media razón, mientras que el segmento AC medirá, por el teorema de Pitágoras, la raíz de ϕ (Phi), como se muestra en la imagen.

El triángulo de Kepler es, por lo tanto, un triángulo equilátero de lados iguales a 1, raíz (cuadrada) de ϕ (Phi) y ϕ (Phi)

Ahora volvamos al teorema de Pitágoras, pero considerando los cuadrados apoyados en los lados del triángulo rectángulo de Kepler, cuyas áreas serán las longitudes de los lados al cuadrado, como se muestra en la siguiente imagen.

En particular, utilizando el teorema de Pitágoras podemos afirmar que si construimos un triángulo rectángulo cuyos lados sean 1, √g (raíz de g) y g, se tiene que 1 + g = g², es decir, g es solución de la ecuación algebraica asociada a la razón áurea, de donde se deduce que g es la razón áurea.

Construcción del triángulo de Kepler

En este último apartado vamos a ver cómo construir un triángulo de Kepler.

Para ello, primero vamos a recordar la construcción de un rectángulo áureo partiendo de un cuadrado (que ya explicamos en la entrada ECHO, un cómic áureo). Dado un cuadrado (en la imagen el cuadrado ABCD), que podemos considerar de lado 1, es fácil ver, por el teorema de Pitágoras, que el segmento que va desde el punto M que está en la mitad de uno de los lados (el de abajo, AB, en la imagen) a uno de los vértices del lado opuesto (el de arriba a la derecha, C, en la imagen) tiene longitud igual a raíz cuadrada de 5 dividido 2 (√5/2). Si ahora trazamos el arco de circunferencia centrado en M y de radio esa longitud, es decir, que pasa por el punto C, y llamamos E al punto de intersección de la circunferencia con la recta que extiende el segmento AB, entonces el rectángulo creado AEFD es un rectángulo áureo, puesto que el largo es Phi [1/2 + √5/2 = (1 + √5)/2] y el ancho es 1, luego tiene proporción áurea.

A continuación, como el lado largo del rectángulo mide ϕ (Phi), si el lado del cuadrado original mide 1, entonces tomamos el arco de circunferencia centrado en el punto A (vértice del cuadrado) y que pasa por E, ya que el lado largo del rectángulo es el número de oro, e intersecamos este con el otro lado largo del rectángulo DF, entonces se obtiene el punto de intersección G, que junto con los vértices A y D forman un triángulo de Kepler, de lados 1, √ϕ y ϕ, como se muestra en la imagen.

Bibliografía

1.- Mario Livio, La proporción áurea, La historia de phi, el número más sorprendente del mundo, Ariel, 2006.

2.- Roger Herz-Fischler, A “Very Pleasant Theorem”, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 4, pp. 318-324 (1993).

3.- Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of the Golden Number, Dover, 2003.

4.- La página web del matemático Ron Knott

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica