De gatas y matemáticas

Hace un par de años hablamos de ranas y matemáticas; hoy cambiamos de animal, pero seguimos hablando de matemáticas a través de unos pocos problemas con “mininos” como protagonistas.

Gatas mentirosas y gatos sinceros

En una colonia felina, los gatos dicen siempre la verdad y las gatas mienten siempre. Cuatro de estos felinos afirman:

• Bubu: Mimi y yo somos de distinto sexo.
• Cucu: Lili es una gata.
• Lili: Cucu es una gata.
• Mimi: Entre nosotros cuatro, hay al menos dos gatos.

¿Cuántos entre ellos son gatas?

Cucu y Lili no pueden ser dos gatas, porque entonces ambas estarían diciendo la verdad, cosa que nunca hacen las gatas. Tampoco pueden ser dos gatos, porque ambos mentirían. y los gatos no mienten nunca. Así que uno de ellos es gato y el otro es una gata.

Si Bubu fuera un gato, como los gatos dicen la verdad, Mimi debería ser una gata. Pero Mimi, como gata, siempre miente, es decir, no sería cierto que hay al menos dos gatos. Pero los hay, Cucu (o Lili) y Bubu. Como esto es imposible, deducimos que Bubu debe ser una gata, que sabemos que miente. Así, Mimi también es una gata. Como Mimi miente, su frase no contradice lo que acabamos de comentar. Así, hay tres gatas y un gato.

Gatas saltarinas

Una gata puede hacer saltos de 1 o 3 metros y desea recorrer un total de 7 metros. ¿De cuántas maneras lo puede hacer?

Si sólo hace saltos de 1 metro, solo puede hacerlo de una manera (7 saltos de 1 metro).

Si hace solo un salto de 3 metros, necesitará hacer 4 de 1 metro para recorrer los 7 metros. Esta estrategia puede realizarla de 5 maneras posibles (31111, 13111, 11311, 11131, 11113), eligiendo en qué momento hace el salto de 3 metros.

Si hace dos saltos de 3 metros, con uno más de un metro ya habrá terminado. Y esto puede hacerlo de 3 maneras posibles, decidiendo en qué momento salta un metro (133, 313, 331).

Así, en total, tiene 1 + 5 + 3 = 9 maneras de realizar el salto de 7 metros.

Gatas mutantes

Unas gatas mutantes poseen 20 dedos (en vez de los 18 de las gatas normales) y 2 cabezas en vez de una. En una colonia felina, varias gatas se reúnen para maullar juntas de noche. Se cuentan en esa singular reunión 130 cabezas y 1700 dedos. ¿Cuántas gatas normales y cuántas gatas mutantes hay?

Llamamos G al número de gatas normales y M al número de gatas mutantes. Según el enunciado, tenemos:

130 = G + 2M

1700 = 18G + 20M.

Podemos restar a la segunda ecuación la primera multiplicada por 10, y queda entonces:

1700 – 1300 = (18G – 10G) + (20M – 20M).

Así, 400 = 8G, y G = 50. Y ahora, reemplazando este valor de G en la primera ecuación, queda:

2M = 130 – 50,

Con lo que M = 40.

Así, hay 50 gatas normales (en total tienen 50 x 18 = 900 dedos y 50 cabezas) y 40 mutantes (en total tienen 40 x 20 = 800 dedos y 80 cabezas).

Una veterinaria con escasez de guantes

Sandra es veterinaria y, con solo dos pares de guantes quirúrgicos, debe operar a tres gatas. La cara de un guante que ha tocado a una gata no debe tocar ni a Sandra ni a ninguna otra gata.

¿Puede operar a estas tres gatas en estas condiciones?

Sí, puede hacerlo con la siguiente estrategia: Sandra se pone el primer par de guantes para la primera operación. Se quita este par de guantes y se coloca el segundo par para la segunda operación. Para la tercera operación, da la vuelta al primer par de guantes y se los coloca por encima del segundo par. Así, las caras contaminadas de cada guante están colocadas la una contra la otra, y no están expuestas ni a la tercera gata ni a Sandra.

Gatas verdes y gatas negras

Un planeta lejano está habitado por gatas verdes, que dicen siempre la verdad, y gatas negras que siempre mienten. Cinco gatas dicen, en este orden, las siguientes frases:

• Lulu: Soy verde.
• Lolo: Al menos tres de entre nosotras son verdes.
• Lala: Lulu es negra.
• Lili: Al menos tres de entre nosotras son negras.
• Lele: Somos todas negras.

¿Cuántas ranas son verdes?

Lulu y Lala dicen cosas contrarias, así que necesariamente una es verde y la otra negra. Lo mismo sirve para Lolo y Lili. Lele miente (ya sabemos que hay dos gatas verdes y dos negras), así que es de color negro. Por lo tanto, hay dos gatas verdes y tres negras.

Otro problema con la veterinaria Sandra

Sandra recibe en su centro 50 gatas adultas y 50 gatos adultos. La mitad de las gatas iba acompañada por su camada de gatitos. La media de cachorros por camada es de 4.

¿Cuántos mínimos ha recibido en total Sandra?

De las 50 gatas adultas, 25 iban acompañadas de su camada. Esto supone 100 gatitas y gatitos. Así, hay 100 gatas y gatos adultos y 100 gatitas y gatitos.

¡Sandra debe atender en total a 200 mininos!

La gata que caminaba sola (sobre una recta)

Acabamos con un pequeño homenaje al cuento El gato que caminaba solo de Rudyard Kipling.

Una gata camina sobre una línea recta graduada. Comienza en el -2, camina hasta el -6, da media vuelta y camina hasta el 5.

¿Cuántas unidades ha recorrido?

Desde el -2 al -6 ha recorrido 4 unidades (-2 – (-6)) y desde -6 a 5, ha recorrido 11 (6 + 5). Así, en total, ha recorrido 15 unidades.

Referencias

Adaptaciones de propuestas encontradas en Calendrier mathématique 2016 y Calendrier mathématique 2017 (Presses Universitaires de Grenoble).

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia