Ana y Carlos ganan cada día dos monedas de oro y gastan una de ellas.

Ana administra del siguiente modo su dinero: el día n gana dos monedas que denotamos P_ny Q_n. Ha alquilado un almacén –va a necesitar mucho sitio– y deposita allí la moneda P_n bajo la pila de piezas que tiene acumuladas de los días anteriores, y gasta Q_n. Así, el primer día, tiene ahorrado en su almacén {P₁}, el segundo día {P₁,P₂}, el tercero {P₁,P₂,P₃} –con esta notación, la moneda situada más abajo en la pila es la situada a la derecha–, etc.

Carlos prefiere actuar de otra manera, y hacer circular todas sus monedas: el día n –como cada día y en su propio almacén– coloca bajo la pila de monedas ahorradas las piezas P_ny Q_n que acaba de ganar; coge la moneda que se encuentra encima de la pila y la gasta. Así, el primer día su pila tiene la moneda {Q₁} –ha colocado P₁ y Q₁ y gastado la moneda P₁–, el segundo día, su montón de piezas de oro es {P₂,Q₂} –ha añadido P₂ y Q₂ debajo de la pila, quedando {Q₁,P₂,Q₂}, y ha gastado la moneda de encima Q₁ –, el tercer día su montón se transforma en {Q₂,P₃,Q₃}, el cuarto en {P₃,Q₃,P₄,Q₄}, el quinto en {Q₃,P₄,Q₄,P₅,Q₅}, etc.

Al final de los tiempos, aunque ambos han ahorrado y gastado la misma cantidad de dinero, Ana será infinitamente rica y Carlos estará en la más absoluta ruina.

En efecto, en ese momento, Ana tendrá ahorradas y acumuladas en su almacén las monedas

{P₁,P₂,P₃,P₄,P₅,P₆,P₇,…,P_n,P_n+1,…}.

Sin embargo, Carlos no tendrá nada: la moneda P_n –colocada en la pila el día n–se gastará el día 2n-1, y la moneda Q_n –también colocada en la pila el día n–se invertirá el día 2n. Así, toda moneda termina siendo desembolsada por Carlos, con lo que al final de los tiempos,… no le quedará nada.

¿No parece absurdo que, ganando y gastando ambos lo mismo, Ana sea rica y Carlos pobre?

Esta paradoja muestra lo difícil que resulta argumentar con el infinito en un razonamiento lógico.

El anterior contrasentido tiene que ver con la noción de cardinal. El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que posee. Denotamos por card(A) al cardinal del conjunto A.

Llamamos A_n al conjunto de las monedas conservadas por Ana en el instante n, es decir,

A_n = {P₁,P₂,P₃,P₄,P₅,P₆,P₇,…,P_n},

y A al conjunto de piezas que posee Ana al final de los tiempos. El cardinal de A_n, es card(A_n)=n, que tiende a infinito si n tiende a infinito, con lo que card(A)=∞, y Ana termina siendo infinitamente rica.

Del mismo modo, llamamos C_n al conjunto de las monedas ahorradas por Carlos en el instante n y C el número de piezas que conserva al final de los tiempos. Como hemos comentado antes, Carlos gasta todas sus monedas, ya que invierte la moneda P_n el día 2n-1, y la moneda Q_n el día 2n. Así, card(C)=0, ya que C es… el conjunto vacío. ¡Es verdad! ¡Carlos está en la más absoluta ruina!

Vamos a intentar argumentar de otro modo para comprobar el resultado. Al cabo de 2n días:

A_2n={P₁,P₂, P₃,P₃, …,P_2n-1,P_2n},

y card(A_2n)=2n, quetiende a infinito con n, con lo que card(A)=∞. En el caso de Ana, confirmamos que obtiene una fortuna infinita.

Al cabo de esos mismos 2n días, las monedas almacenadas por Carlos son:

C_2n={P_2n,Q_2n,P_2n-1,Q_2n-1,…,P_n+2,Q_n+2,P_n+1,Q_n+1},

es decir, card(C_2n)=2n, quetiende a infinito con n, con lo que

card(C) = lím card(C_2n)= lím(2n) = ∞.

¿No habíamos dicho antes que C era el conjunto vacío?

El problema en toda esta argumentación se produce al pensar que los límites se pueden intercambiar con el cardinal. Si fuera

lím card(C_2n) = card(lím C_2n),

se obtendría que:

∞ = lím card(C_2n) = card(lím C_2n) = card(C) = 0.

Así que, ¡mucho cuidado con el infinito!

Visto en: Jean-Paul Dalehaye, Bien ranger son argent, Accromath vol 2, été-automne 2007 (explicación en Accromath vol 3, hiver-printemps 2008).

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.