Las bandas de Bloch

Experientia docet Materia sólida Artículo 6 de 15

Foto: Harli Marten / Unsplash

En 1928, solo dos años después de la formulación de la mecánica cuántica, Arnold Sommerfeld modificó el modelo clásico de electrones libres tratando los electrones de acuerdo con la mecánica cuántica. Pero, como antes, Sommerfeld también consideró que los electrones eran pequeñas partículas de materia cargadas. No solo eso, el nuevo modelo aún contenía la suposición poco realista de que los electrones no interactúan con los iones [1] de la red, excepto para colisionar con ellos.

Ese mismo año, Felix Bloch, asistente de Werner Heisenberg en Leipzig, comenzó a hacer suposiciones más razonables en un intento de formular una mecánica cuántica más completa que explicase la conductividad eléctrica.

Primero, Bloch quería asignar un momento y energía definidos a cada uno de los electrones, pero no una posición definida o un intervalo de tiempo, por lo que eligió la faceta de onda de la dualidad onda-corpúsculo [2]. Supuso que los electrones se comportan, no como partículas, sino como ondas de de Broglie infinitamente extensas.

Por lo tanto Bloch no consideraba los electrones dentro de los conductores como un «gas» de partículas, sino más bien como ondas periódicas que se extienden por toda la red cristalina periódica. Este hecho tuvo posteriormente la consecuencia de que permite explicar cómo es que la electricidad puede comenzar a “fluir” por un cable en el mismo instante en que el cable se conecta a una toma de corriente [3].

Bloch hizo una segunda suposición. Supuso que los iones metálicos positivos, que están dispuestos en una matriz periódica infinita (esto es, en un cristal perfecto), ejercen una fuerza eléctrica atractiva sobre los electrones negativos. Esta fuerza atractiva podemos visualizarla como sumideros en el camino de los electrones, técnicamente «pozos de potencial». Los pozos de iones vecinos se superponen de manera que juntos forman una disposición periódica de “baches” que da a las ondas de electrones un recorrido muy irregular por el cable.

Con estas dos suposiciones, Bloch resolvió la ecuación de Schrödinger para averiguar las energías que las de ondas de Broglie de este tipo [4] podrían poseer mientras se movían en este tipo de potencial periódico. Descubrió que las energías permitidas de los electrones en el material se unen en bandas de estados cuánticos, de una forma análoga a como hay ciertos estados estacionarios cuánticos dentro de cada átomo en el que pueden estar los electrones. Entre las bandas, como entre los estados cuánticos, hay un rango de energías en el que los electrones tienen prohibido estar.

Notas:

[1] Un ion tiene carga positiva. Asumir que un electrón cargado negativamente solo interactúa de forma mecánica con ellos es llevar el vacaesferismo hasta casi lo ridículo.

[2] Recordemos esa parte del principio de complementariedad que dice “Cada experimento, o el experimentador que diseña el experimento, selecciona una u otra descripción como la descripción adecuada para ese experimento.”

[3] Démonos cuenta de que, si los electrones se consideran bolitas de materia, la corriente debería emplear un tiempo en llegar a los valores que establece la ley de Ohm.

[4] Recordemos que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial y que su solución es, por tanto, una o varias funciones matemáticas llamadas funciones de onda.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

2 comentarios

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