Siro, Tania y Boris son amigos y tienen una caja con mil galletas para repartirse. Deciden distribuirlas usando el siguiente sistema: comenzando por Siro –después Tania y finalmente Boris–, cada uno de ellos debe tomar por turnos –siempre en ese orden, es decir, tras Boris sigue Siro, y el proceso vuelve a comenzar– tantas galletas como desee hasta que no quede ninguna en la caja. Además, solo pueden coger galletas enteras –no pueden coger trozos– y, en cada turno, deben coger al menos una galleta.

Ninguno de ellos quiere parecer egoísta frente a sus amigos, por lo que todos quieren evitar ser la persona que, al final, ha tomado más galletas que los otros dos. Pero a todos ellos les gustan las galletas, y ninguno quiere quedarse con menos galletas que sus amigos. ¡Difícil equilibrio entre no ser ni demasiado egoísta ni demasiado ingenuo! Como esa deseada armonía no se sabe si es fácil de cumplir, cada uno de ellos piensa en maximizar la cantidad de galletas que come.

Así, los objetivos de los tres amigos pueden resumirse de la siguiente manera:

1. que haya una persona que coja más galletas que yo y otra que consiga menos, y

2. conseguir el mayor número de galletas posible.

El primer objetivo tiene una prioridad infinita sobre el segundo. Suponiendo que todos los jugadores son racionales, que todos son conscientes de la racionalidad y de los objetivos de los demás, y que no pueden comunicarse entre ellos de ninguna manera, se plantean las siguientes cuestiones: ¿Cuántas galletas debería tomar Siro para asegurarse de que cumple ambos objetivos? ¿Y cuántas galletas obtendrán Tania y Boris si Siro se queda con la cantidad “ganadora”?

Vamos a razonar suponiendo que Siro toma 335 galletas, una cantidad un poco mayor que la que le tocaría en media (1000/3 = 333,33). Vamos a probar que, entonces, Tania ganaría tomando 334 galletas de la caja. En efecto, si Tania coge 334 galletas, a Boris le quedarán 331 en la caja. Y da lo mismo lo que haga, porque ya no puede cumplir el primero de los objetivos (Siro tiene 335 y Tania 334, es decir, nadie comerá menos galletas que él). Tania sería la única que cumple el primer objetivo. Así que esa no es la mejor estrategia para Siro.

El mismo argumento que acabamos de realizar sirve si Siro se lleva más de 335 galletas. En ese caso basta con que Tania coja una galleta menos que Siro (o las que queden, si la cantidad restante es menor de las que tiene Siro).

Supongamos ahora que Siro toma 334 galletas. Si quiere cumplir el primer objetivo, no puede tomar menos (1000/3=333,33). Si Tania toma 333 galletas o más, no podrá cumplir con el primer objetivo, ni tampoco Boris porque quedarían como mucho 333 (= 1000 – 334 – 333 = 333) galletas en la caja.

Así que, en este caso, a Tania no le queda más remedio que tomar n galletas, donde n es una cantidad menor o igual a 332. Quedarán entonces 666 – n (= 1000 – 334 – n) galletas para que Boris decida qué hacer con ellas. Si Boris tomara 333 galletas (serían menos de las de Siro y más de las de Tania; tiene en mente cumplir el primer objetivo) quedarían 333 – n galletas en el plato y llegaría de nuevo el turno de Siro. Aunque Siro tomara solo 1 galleta en cada turno a partir de ese momento, Boris siempre podría asegurarse de tener menos galletas que Siro tomando también 1 galleta. Supongamos que en su segundo turno Siro toma m galletas. Así, Tania se encuentra en el plato con 333 – n – m galletas. Incluso si Tania tomara todas las galletas restantes, tendría n + (333 – n – m) = 333 – m, que es como máximo 332 (recordar que m es mayor o igual que 1) y Tania tendría menos galletas que Siro y que Boris y, así, no cumpliría el primero de los objetivos. Es decir, si Tania toma 332 galletas o menos, Boris puede “ganar” (cumplir los dos objetivos) llevándose 333 galletas, ya que terminará con menos que Siro y con más que Tania.

Por lo tanto, si Siro toma 334 galletas, Tania no podrá cumplir con el primer objetivo. ¿Qué hacer entonces? Intentar cumplir el segundo objetivo, es decir, tomar tantas galletas como le sea posible. Así, Tania se llevaría las 666 galletas restantes, dejando a Boris con 0 dulces… Esta estrategia deja a Siro con la cantidad media de galletas y termina siendo el “ganador” (el que cumple los dos objetivos) de este juego. Aunque Tania se coma casi el doble de dulces que él…

Siendo el primero en elegir, llevarse 334 galletas es una estrategia ganadora para Siro.

Referencias

• A Plate of 1,000 Cookies, Futility Closet, 21 junio 2021

• David B., May 2017 Puzzle Periodical – A Plate of 1,000 Cookies, NSA Resources

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad