En algunas entradas del Cuaderno de Cultura Científica hemos hablado de cómo las matemáticas recreativas y, en particular, algunos rompecabezas matemáticos, habían inspirado al arte, siendo utilizados como herramientas de creación artística. Por ejemplo, el conocido rompecabezas geométrico Tangram (véase la entrada El arte contemporáneo que mira al Tangram), el rompecabezas cubo soma (véase la entrada El cubo soma: diseño, arte y matemáticas), la disección de Dudeney, una disección geométrica de un triángulo equilátero cuyas piezas se pueden reordenar formando un cuadrado o viceversa (véase la entrada La disección de Dudeney, de rompecabezas matemático a creación artística) o los cuadrados latinos (véase la entrada Cuadrados latinos, matemáticas y arte abstracto). Sin embargo, en esta entrada vamos a mostrar un ejemplo de cómo el arte también puede inspirar a la matemática recreativa, en concreto, enseñaremos cómo una obra del artista conceptual y minimalista estadounidense Sol LeWitt (1928-2007) ha motivado la creación de algunos rompecabezas matemáticos.

El artista minimalista y conceptual Sol Lewitt

Podemos relacionar al artista Sol LeWitt con dos movimientos artísticos, el minimalismo y el arte conceptual. Estos pueden ser descritos brevemente con dos lemas. La expresión que nos explica en tres palabras qué es el arte minimal es “menos es más”, atribuida al arquitecto germano-estadounidense Ludwig Mies van der Rohe (1886-1969), por ser quien la popularizó, aunque la primera vez que se publica en este sentido es de la mano del también artista estadounidense minimalista y conceptual Ad Reinhardt (1913-1967), en una entrevista en la que afirmó que “Mientras más cosas contenga, cuanto más ocupada sea la obra de arte, peor será. Más es menos. Menos es más”. Sin embargo, la frase “menos es más” se encuentra con anterioridad en la poesía, por ejemplo, en el poema Andrea del Sarto (1855) del poeta y dramaturgo británico Robert Browning (1812-1889) o en el poema Deseo de año nuevo (1774) del poeta alemán Christoph Martin Wieland (1733-1813).

Mientras que la cita que nos sirve para entender en pocas palabras qué es el arte conceptual se debe al propio Sol LeWitt, quien resumió este movimiento artístico con la frase “La idea se convierte en una máquina que hace arte”, después de afirmar que “en el arte conceptual, la idea o el concepto es el aspecto más importante de la obra. Cuando un artista utiliza una forma de arte conceptual, significa que toda la planificación y las decisiones se toman de antemano y la ejecución es un asunto superficial”.

Líneas rectas en cuatro direcciones y todas sus posibles combinaciones

Si observamos el trabajo de este artista conceptual y minimalista descubriremos un arte muy geométrico, en el que la combinatoria juega también un papel fundamental. Un ejemplo es la obra que nos ocupa hoy, titulada Líneas rectas en cuatro direcciones y todas sus posibles combinaciones (1975) y formada por 15 grabados. Esta obra (que podemos observar en la siguiente imagen) describe gráficamente de qué formas podemos trazar en un cuadrado grupos de segmentos rectos dentro del conjunto de cuatro tipos de líneas rectas, en horizontal, en vertical o en diagonal (ascendente o descendente), que pasan por el centro del cuadrado. La respuesta es 15, como la cantidad de grabados que compone esta obra, si excluimos la forma número 16 que sería sin ninguna línea recta, es decir, el cuadrado vacío.

Aunque este no es el objetivo de esta entrada, la obra que nos ocupa está relacionada con lo que en combinatoria se llama “números combinatorios” –de cuántas formas se pueden elegir k objetos de un grupo total de n objetos– y con las partes –o subconjuntos- de un conjunto dado de n elementos.

El rompecabezas inspirado en la obra de Sol Lewitt

Cuando el matemático y divulgador estadounidense Barry Cipra vio la obra del artista Sol Lewitt, Líneas rectas en cuatro direcciones y todas sus posibles combinaciones (1975), observó que había líneas que se continuaban desde un lado a otro del cuadrado 4 x 4 que formaba la obra con los 15 + 1 (el 1 extra es el cuadrado vacío de rectas, que estaría abajo a la derecha, donde el texto) grabados juntos (imagen anterior), como la línea diagonal que parte del segundo cuadrado de la cuarta y última fila, pasando por el tercer cuadrado de la tercera fila y llegando al cuarto de la segunda fila, mientras que otras líneas no cumplían esta propiedad, como las líneas verticales del segundo y tercer cuadrados de la primera columna, que no se continúan ni hacia arriba, ni hacia abajo, hasta llegar a los lados de la obra. Entonces se le ocurrió la idea de si sería posible recolocar los 16 (15 + 1) cuadrados, sin rotar ninguno, de forma que se pudieran continuar las líneas rectas desde un lado a otro de la parte exterior de la estructura cuadrada 4 x 4 que forman los 16 cuadrados. Esta idea dio lugar al llamado rompecabezas de Sol Lewitt, que Cipra propuso por primera vez en libro What’s Happening in the Mathematical Sciences 1998-1999 / Qué está pasando en las ciencias matemáticas 1998-1999.

A continuación, vamos a describir con más detalle los elementos y las reglas del rompecabezas de Sol Lewitt, con la idea de que podáis construir vuestra propia versión física y jugar con ella.

Para empezar, debemos construir las 16 fichas del rompecabezas (por ejemplo, en cartulina, o en madera si somos más atrevidos), que son los 16 cuadrados con las diferentes opciones de representar una, dos, tres o cuatro de las líneas rectas que pasan por el centro del cuadrado, en vertical, horizontal o diagonal (ascendente o descendente). Para facilitar el desarrollo del juego –en concreto, que no se pueden girar las piezas, de forma que una línea vertical pase a horizontal, o viceversa, o que una línea diagonal en un sentido pase a una línea diagonal en el otro sentido– vamos a colorear las líneas según a la dirección de las mismas. Por ejemplo, las líneas horizontales en verde, las verticales en amarillo, las diagonales en un sentido en azul y en el otro en rojo, como se muestra en la siguiente imagen.

El rompecabezas de Sol Lewitt consiste en colocar las 16 piezas cuadrados que hemos construido formando una estructura cuadrada 4 x 4, sin rotar ninguna de las piezas, es decir, las líneas horizontales (verdes) siempre son horizontales, las verticales (amarillas) siempre verticales, las diagonales ascendentes (azules) siempre son diagonales ascendentes y las diagonales descendentes (rojas) no dejan de ser diagonales descendentes, de forma que formen líneas ininterrumpidas de un lado al otro de la estructura cuadrada 4 x 4. Así las líneas amarillas van desde la parte superior a la inferior, las verdes de la parte de la izquierda a la parte de la derecha, las azules desde el lado izquierdo al lado superior, o del lado inferior al lado derecho, y las rojas del lado superior al lado derecho, o del lado izquierdo al lado inferior.

Por ejemplo, una solución del rompecabezas es la que se muestra a continuación (que llamaremos “solución 1”).

Como siempre que hablamos de algún rompecabezas matemático, os animamos a que primero os construyáis las dieciséis piezas geométricas y luego intentéis vosotros mismos encontrar alguna solución al rompecabezas de Sol Lewitt.

Las soluciones del rompecabezas de Sol Lewitt

Cuando el matemático Barry Cipra propuso el rompecabezas de Sol Lewitt, lo hizó sabiendo que existía alguna solución. Sin embargo, fue el matemático británico John H. Conway (1937-2020), de quien hemos hablado en la entrada Teoremas geométricos sin palabras: Conway, quien demostró que había tres soluciones “básicas” distintas (que mostramos al final de esta entrada).

Cuando decimos “básicas” queremos decir que las demás se obtienen a partir de estas a través de una serie de procesos geométricos o matemáticos, que vamos a describir a continuación. Utilizaremos la solución que hemos visto (anterior imagen) para entender mejor estos procesos.

1. Rotación de 90 grados.

Dada una solución del rompecabezas de Sol LeWitt, una rotación de 90 grados (en el sentido contrario de las agujas del reloj) nos da otra solución del rompecabezas. Tengamos en cuenta dos cuestiones. La primera es que, si realizamos una rotación de 90 grados, el conjunto de los 16 diseños combinatorios posibles con cuatro direcciones de líneas rectas –las 16 piezas del rompecabezas– se transforma de nuevo en los 16 diseños combinatorios. Es decir, seguimos teniendo todas las piezas del rompecabezas. Aunque si observamos nuestro añadido de color, las líneas horizontales ahora son amarillas, en lugar de verdes, las líneas verticales son verdes, en lugar de amarillas, las líneas diagonales ascendentes son rojas, en lugar de azules, mientras que las líneas diagonales descendentes son azules, en lugar de rojas. Pero recordemos que el color no es importante, es solo un añadido para ayudarnos a distinguir las líneas de cada dirección. Por otra parte, las líneas continuas al rotarlas siguen siendo líneas continuas, luego obtenemos una nueva solución del juego. En la siguiente imagen podemos observar la rotación de 90 grados (en el sentido contrario de las agujas del reloj) de la solución 1, que es una nueva solución.

2. Reflexión.

Por otra parte, si realizamos una reflexión de una solución del rompecabezas de Sol LeWitt, es decir, si damos la vuelta a una solución, se obtiene una nueva solución. De hecho, los dos comentarios anteriores para la simetría rotacional siguen siendo válidos para las reflexiones.

3. Simetría “toroidal”.

Partamos de nuevo de una solución del rompecabezas de Sol Lewitt, si tomamos la columna de piezas de la izquierda y la trasladamos a la parte derecha (como en la siguiente imagen se ha hecho para la solución 1) se obtiene una nueva solución.

Lo mismo ocurre para las filas, si tomamos la fila de arriba de la solución y la trasladamos a la parte de abajo (como en la siguiente imagen se ha hecho para la solución 1) se obtiene también una nueva solución.

Pensando matemáticamente, es como si nuestra solución del rompecabezas estuviese dibujada sobre la superficie de un toro (matemático), es decir, la parte de la izquierda estuviese “pegada” a la derecha y la parte de arriba a la de abajo.

4. Simetría no geométrica.

Existe otro tipo de transformación, aunque no es geométrica, que convierte una solución del rompecabezas en otra distinta. Fijémonos en una cierta dirección de las líneas rectas de las dieciséis piezas que componen el juego (y la obra del artista Sol Lewitt), por ejemplo, en las líneas horizontales. Cada pieza cuadrada o tiene una línea horizontal o no la tiene, y además, la mitad de las piezas la tienen, es decir, ocho piezas, mientras que las otras ocho no la tienen. Nuestra transformación consiste en “quitar” las líneas horizontales de las piezas que las tienen y “ponerlas” en las que no las tienen. De esta forma, nuestra solución del rompecabezas da lugar a una nueva solución. En la siguiente imagen hemos realizado esta operación para la solución 1, obteniendo una nueva solución del juego.

Estos son los cuatro tipos de transformaciones que llevan una solución del juego diseñado por Barry Cipra en otra distinta.

Por lo tanto, lo que demostró el matemático John H. Conway fue que existen únicamente tres soluciones, salvo transformaciones como de las vistas anteriormente, del rompecabezas de Sol Lewitt. La demostración de este resultado puede verse en el artículo de Barry Cipra titulado The Sol LeWitt Puzzle: A Problem in 16 Squares, en Puzzlers’ Tribute: A Feast for the Mind.

Las únicas tres soluciones “básicas” que existen son las siguientes.

Bibliografía:

1.- Barry Cipra, What’s Happening in the Mathematical Sciences 1998-1999, volume 4, AMS, 1999.

2.- Barry Cipra, The Sol LeWitt Puzzle: A Problem in 16 Squares, en Puzzlers’ Tribute: A Feast for the Mind (editores: D. Wolfe and T. Rodgers), A K Peters, 2002.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica