En mi entrada anterior del Cuaderno de Cultura Científica titulada Juegos matemáticos con el dominó, se propusieron algunos juegos y rompecabezas matemáticos que pueden jugarse con las fichas del dominó. Este es un juego muy conocido y popular que suele estar en todas las casas, pero que, si no es el caso, es fácil construir las fichas por uno mismo.
En esta entrada vamos a continuar en la misma línea de plantear juegos para los cuales se utilizan elementos cotidianos que están en nuestras casas o que pueden construirse fácilmente. En concreto, vamos a considerar como elementos para el juego las cartas, ya sean de la baraja española o de póker, con las cuales se pueden plantear muchos juegos y rompecabezas matemáticos: Sobre un par de ellos ya hemos escrito en las entradas La ratonera, el juego de Cayley y Los cuadrados greco-latinos de Leonhard Euler. Para esta entrada presentaremos el juego aritmético de cartas llamado el veinticuatro.
Baraja española clásica, de 40 cartas (sin cartas de valores 8, 9 y 10), de la empresa de naipes vitoriana Naipes Heraclio Fournier.
Como comentaba, podemos utilizar las cartas de la baraja española (de 40 o 52 cartas), como las de la imagen anterior, las cartas de póker (52 cartas), como las de la siguiente imagen, o construir un juego de cartas en las cuales tengamos pintados números, del 1 al 10 (o incluso al 13), y cuatro palos, que podamos representar con dibujos (corazones, diamantes, tréboles y picas), con sencillos símbolos (triángulo, cuadrado, pentágono y círculo) o con colores (azul, verde, amarillo y rojo).
Baraja de cartas de póker, de la empresa Piatnik en Austria
Unos aperitivos con cartas
Antes de entrar en materia vamos a presentar algunos juegos de ingenio con cartas que aparecen en el clásico de la matemática recreativa Amusements in mathematics / Diversiones matemáticas (1917), del experto inglés en matemática recreativa Henry E. Dudeney (1857-1930).
El primero de los juegos está relacionado con los problemas de la anterior entrada Juegos matemáticos con el dominó, sobre ciertas ventanas de dominó. Una ventana de dominó es una estructura cuadrada formada por cuatro fichas que dejan un hueco en medio, como en la siguiente imagen. En la anterior entrada nos planteamos buscar ventanas de dominó en las cuales la cantidad de puntos de cada lado sea la misma (en la siguiente imagen esa suma es 9), incluso el problema más amplio de utilizar las 28 fichas del juego del dominó para formar siete ventanas de dominó simultáneas que cumplan la propiedad de que los cuatro lados de cada ventana suman lo mismo (aunque para cada una de esas siete ventanas esa suma sea diferente).
Ventana de dominó tal que la cantidad de puntos de cada lado es la misma, en este caso, 9 puntos
En esta línea, el problema 381 de Diversiones matemáticas, titulado el rompecabezas del marco (o cerco) de naipes, dice así.
Rompecabezas del marco de naipes: En la ilustración vemos un marco formado por las diez cartas de la baraja, desde el as hasta el diez de diamantes. Los niños que lo hicieron querían que los puntos de los cuatro lados sumaran lo mismo, pero fracasaron en su intento y lo dieron por imposible. Se verá que los puntos de la fila superior, la fila inferior y el lado izquierdo suman 14, pero el lado derecho suma 23. Ahora bien, lo que intentaban hacer es perfectamente posible. ¿Puedes reorganizar las diez cartas en la misma formación de modo que los cuatro lados sumen lo mismo? Por supuesto, no es necesario que sumen 14, sino cualquier número que elijas.
Ilustración del problema el rompecabezas del marco de naipes
En este juego se pueden encontrar soluciones cuya suma lateral esté entre 18 y 22. Ahí os lo dejo para que disfrutéis del mismo.
El siguiente rompecabezas, el número 382, se plantea una cuestión de la misma índole, pero con las cartas formando una cruz.
La cruz de naipes:En este caso utilizamos solo nueve cartas: del as al nueve de diamantes. El rompecabezas consiste en colocarlas en forma de cruz, exactamente como se muestra en la ilustración, de modo que la suma de los puntos de la barra vertical y de la barra horizontal sea la misma. En el ejemplo dado, se verá que en ambas direcciones la suma es 23. Lo que quiero saber es: ¿de cuántas formas diferentes se pueden reorganizar las cartas para obtener este resultado? Se verá que, sin afectar a la solución, podemos intercambiar el 5 por el 6, el 5 por el 7, el 8 por el 3, y así sucesivamente. También podemos intercambiar las barras horizontal y vertical. Pero estas manipulaciones tan obvias no deben considerarse soluciones diferentes. Todas ellas son meras variaciones de una solución fundamental. Ahora bien, ¿cuántas de estas soluciones fundamentalmente diferentes hay? Por supuesto, los puntos no tienen por qué sumar siempre 23.
Ilustración del rompecabezas la cruz de naipes
Como información para quienes os animéis a resolver este reto de ingenio, en la cruz de naipes se pueden obtener soluciones cuya suma común tenga valores entre 23 y 26.
El juego de cartas veinticuatro
El veinticuatro es un juego de cartas aritmético que en su versión más clásica y sencilla se juega con la baraja de 52 cartas sin las figuras, es decir, las 40 cartas con valores numéricos entre el 1 y el 10 para los cuatro palos (oros, copas espadas y bastos en la baraja española -si es la baraja clásica de 40 naipes, habría que considerar que sota, caballo y rey tienen los valores 8, 9 y 10- y corazones, diamantes, tréboles y picas para las cartas de póker). Pueden jugar dos, tres o cuatro jugadores.
El juego consiste en lo siguiente. Primero se barajan bien las cartas y se colocan las 4 primeras cartas del mazo de la baraja en el centro de la mesa. El objetivo de los jugadores es conseguir, con los valores numéricos de esas cuatro cartas y las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), como resultado exactamente 24. Por ejemplo, si sale la siguiente mano, cuyos valores numéricos son 2, 4, 7 y 8 …
Una mano al azar del juego de cartas veinticuatro
… se podría obtener el valor 24 de las siguientes formas: (7 × 2 – 8) × 4 [= (14 – 8) × 4 = 6 × 4 = 24], 8 × 7 / 2 – 4 [= 56 / 2 – 4 = 28 – 4 = 24] o 7 × 4 – 8 / 2 [= 28 – 4 = 24]. Es decir, en este caso habría tres formas de obtener 24. Además, como se observa en las soluciones planteadas, se pueden utilizar los corchetes para priorizar unas operaciones sobre otras.
El primer jugador que declare que tiene una solución y se demuestre que es así, se queda con esas cuatro cartas. Luego se vuelven a repartir otras cuatro cartas del mazo de cartas. Así hasta que no queden cartas en el mazo. Ganará el jugador que haya conseguido más cartas.
Una mano del juego de cartas veinticuatro que solo tiene una solución
En la anterior imagen tenemos una mano del juego de cartas veinticuatro {3, 4, 4, 10} que solo tiene una solución, mientras que la mano {3, 5, 5, 10} no tiene ninguna.
Si los jugadores se rinden, ninguno encuentra una solución con las cuatro cartas que están sobre la mesa (ya sea porque no existe, como en el caso {3, 5, 5, 10}, o simplemente porque no la encuentran), las cartas se devuelven al mazo y se barajan antes de volver a colocar las cuatro de arriba en el centro de la mesa.
Se han limitado las cartas a las 10 primeras de cada palo, del 1 al 10, pero podrían considerarse también las figuras, considerando las siguientes puntuaciones sota / jota (11 puntos), caballo / reina (12 puntos) y rey (13 puntos), utilizando las barajas de 52 cartas o construyendo nuestra propia versión. Una posible mano sería la siguiente {3, 6, 11, 13}, que os dejo para que intentéis buscar la combinación aritmética cuyo resultado es 24.
Una mano del juego de cartas veinticuatro, considerando las 52 cartas, del 1 al 13 de cada palo
Según el blog BAD MATHEMATICS en el libro chino publicado en 1979 bajo el título Matemáticas interesantes, cuya portada se muestra en la siguiente imagen, se presentaba este juego aritmético con cartas.
Portada del libro chino Matemáticas interesantes (1979), en el que aparece el juego de cartas veinticuatro
Por otra parte, en la página web sobre las reglas de juegos con cartas o fichas de dominó PAGAT, del matemático y experto en juegos de cartas británico John McLeod, se menciona que este es un juego de origen chino, que se jugaba en la década de 1960 en Shanghai, aunque también en otras ciudades chinas como Qingdao y Guangzhou.
Juego comercial basado en el juego de cartas aritmético veinticuatro, llamado 24 Game /Juego 24, en el que cada carta ya tiene una propuesta de cuatro números con los que jugar
Aunque hemos presentado el juego de cartas 24 como un juego para varios jugadores, también es interesante jugarlo como un solitario, es decir, después de barajear las cartas nos vamos presentando grupos de 4 cartas e intentamos conseguir exactamente 24 con los valores numéricos de esas cartas y las operaciones aritméticas básicas.
¿Cuántas manos distintas hay en el juego veinticuatro?
Una cuestión matemática que nos podemos plantear es, si jugamos a la versión de 13 cartas de cada palo, cuántas manos distintas posibles hay, es decir, grupos “distintos” de cuatro cartas. Para contestar a esta cuestión es necesario entender qué significa que sean manos distintas. Como en este juego aritmético no importa realmente el palo, solo importan los números de las cartas, entonces lo que interesa conocer es la secuencia de cuatro números de las cartas, por ejemplo, la mano {2, 4, 7, 8} es la misma independientemente del palo de cada carta, esto es, 2 de corazones, 4 de tréboles, 7 de picas y 8 de corazones, es la misma mano que 2 de tréboles, 4 de diamantes, 7 de corazones y 8 de corazones. Además, el orden de los números de las cartas es indiferente, así {2, 4, 7, 8} y {2, 8, 4, 7} son la misma mano.
Resolver esta cuestión es lo mismo que resolver el siguiente problema.
Problema: ¿Cuántas soluciones, de números enteros no negativos, tiene la siguiente ecuación?
Esto se debe a que la variable x1 de la ecuación representa la cantidad de ases (1), la variable x2 la cantidad de doses (2), así hasta x13 la cantidad de treces (13), que hay en cada mano, la cual se compone de 4 cartas.
La solución a este problema, la cantidad de soluciones de la anterior ecuación, es el siguiente número combinatorio (en esta entrada no vamos a explicar el motivo por el cual esta es la solución del problema, pero quien esté interesado puede leer la interesante entrada del blog Aprender a pensar: Más de mil tipos distintos de ramos).
Por lo tanto, hay 1.820 manos distintas para el juego de cartas 24. A partir de aquí puede analizarse cuántas de esas manos no tienen solución y de las que sí tienen solución, cuántas soluciones tienen.
En la página 4 NUMBERS se han analizado las 1.820 manos del juego 24. De todas ellas, 458 no tienen ninguna solución (una de cada cuatro), mientras que 1.362 tienen al menos una solución. De estas últimas, …
515 tienen una única solución (como {1, 6, 11, 12}, {2, 4, 7, 7} o {3, 4, 7, 8});
427 tienen dos soluciones (como {3, 4, 6, 9}, {3, 5, 8, 12} o {4, 4, 7, 8});
216 tienen tres soluciones (como {4, 4, 8, 10}, {5, 6, 8, 12} o {6, 7, 11, 12});
125 tienen cuatro soluciones (como {3, 7, 9, 12}, {5, 6, 7, 13} o {6, 6, 8, 12});
31 tienen cinco soluciones (como {1, 3, 6, 9}, {2, 4, 4, 4} o {3, 4, 6, 8});
17 tienen seis soluciones (como {3, 4, 5, 7}, {4, 5, 8, 12} o {4, 8, 10, 12});
17 tienen siete soluciones (como {2, 6, 8, 10}, {3, 6, 10, 12} o {4, 6, 8, 12});
En versiones más avanzadas se permiten otras operaciones, además de las cuatro operaciones aritméticas básicas, como la exponencial, las raíces, los logaritmos o el factorial. Esto abre más las posibilidades de encontrar operaciones con los cuatro números que nos lleven a obtener 24. Por ejemplo, la mano {1, 1, 9, 9} que no tiene solución en la versión clásica, sí la tiene en la versión extendida, ya que
O la mano {1, 1, 1, 1} que no tenía solución, admite una solución si podemos utilizar el factorial, ya que (1+ 1 + 1 +1)! = 24.
Más aún, podemos añadir más números, tanto naturales mayores que 13, enteros o incluso fracciones, pero de eso ya no hablaremos en esta entrada.
Los jugadores de Skat / Inválidos de guerra jugando a las cartas (1920), del artista expresionista alemán Otto Dix (1891-1969)
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
