Rectángulos cuyas proporciones son raíces cuadradas

En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica vamos a volver a centrar nuestra atención sobre los rectángulos cuya proporción es igual a la raíz cuadrada de un número natural, objetos geométricos sobre los que ya hemos hablado en las entradas Las proporciones de la Vesica Piscis, Dividiendo un cuadrado en rectángulos semejantes o La espiral de Teodoro, aunque en esta última realmente hablábamos de triángulos rectángulos.

Las raíces cuadradas de los números naturales no cuadrados son lo que se denomina proporciones dinámicas. Junto con la razón áurea (véanse las entradas Visitad los museos, también en clave matemática, ECHO, un cómic áureo, Crímenes áureos, El triángulo áureo de Kepler o Los triángulos áureos, geometría y arte (I)), la plateada (1 + √2) o la cordobesa (1 + √(2 + √2)), entre otras, forman este grupo de proporciones basadas en los números irracionales. Las proporciones dinámicas han sido ampliamente utilizadas en el diseño, la arquitectura o el arte, en particular, desde que fueron popularizadas por el artista estadounidense Jay Hambridge (1867-1924), a través de sus libros Simetría dinámica: el jarrón griego (1920) y Los elementos de la simetría dinámica (1926). En contraposición a las proporciones dinámicas están las proporciones estáticas, basadas en los números racionales, y que forman parte del arte clásico.

Rectángulos raíz cuadrada

Como es bien conocido, se define la raíz cuadrada de un número natural n, que se denota como √n, como el número que elevado al cuadrado -es decir, multiplicado por sí mismo- es igual a n. Desde el punto de vista geométrico, las raíces cuadradas de los números naturales n mayores que la unidad pueden obtenerse, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, como la diagonal de un rectángulo cuyos lados son 1 y la raíz cuadrada de (n – 1).

Esta interpretación geométrica, basada en el teorema de Pitágoras, permite la construcción de cualquier rectángulo de proporción √n (un rectángulo de proporción o razón r es aquel para el cual la división entre el largo y el ancho del mismo es r; además, dos rectángulos con la misma proporción tienen la misma forma, aunque varíe el tamaño, y se dice que son semejantes) a partir del rectángulo de proporción √(n – 1), trazando el arco de circunferencia centrado en uno de los vértices y de radio la diagonal del rectángulo. Por lo tanto, partiendo de un cuadrado de lado 1 se puede construir con regla y compás cualquier rectángulo de razón √n mediante la construcción de los rectángulos anteriores, como se muestra en la siguiente imagen.

Desde la antigua Grecia se conoce que la raíz cuadrada de un número natural, no cuadrado, es un número irracional (véase la entrada El infinito en un segmento (2)). Se suele atribuir al pitagórico Hipaso de Metaponto (aprox. 530-450 a.n.e.) la demostración de que √2 es un número irracional, mientras que el matemático griego Teodoro de Cirene (465-398 a.n.e.) lo demostró para las raíces cuadradas de los números naturales no cuadrados, entre √3 y √17.

Dentro del cuadrado

Mientras que en la construcción geométrica anterior se parte de un cuadrado (unitario) al que se le van añadiendo partes para construir los diferentes rectángulos cuya proporción es la raíz cuadrada de un número natural (que podemos denominar rectángulos raíz cuadrada), a continuación, vamos a explicar un método para construirlos dentro de un cuadrado (unitario).

Para empezar, se parte de un cuadrado ABCD, se traza la diagonal AC y el arco de circunferencia de centro A y radio el lado AB, que pasa por B y D. Entonces, se dibuja el segmento FE paralelo a AB que pasa por la intersección del arco y la diagonal, obteniéndose así el rectángulo ABEF que tiene razón √2, como se puede deducir fácilmente.

Si ahora se utiliza la diagonal AE del rectángulo anterior y se interseca con el arco de circunferencia anterior, de centro A y radio AB, el rectángulo ABGH, siendo GH el segmento paralelo a AB que pasa por la intersección de AE con el arco de circunferencia, tiene razón √3. Con la diagonal AG de ABGH se construye el rectángulo de razón √4 = 2 (doble de largo que de ancho), ABIJ. Y así se continua con los demás rectángulos.

La división del rectángulo raíz cuadrada de dos

Una de las propiedades del rectángulo √2 que más ha interesado a diseñadores y artistas es la siguiente. Si un rectángulo de razón a/b, siendo a el largo y b el ancho, es tal que, al duplicarlo, es decir, juntar dos copias del rectángulo por el lado largo, se consigue un rectángulo con la misma proporción que el original (2b/a = a/b), entonces la razón es a/b = √2. Y al revés, si un rectángulo √2 se divide por la mitad, con un corte paralelo al ancho, los dos rectángulos resultantes tienen la misma forma, su proporción es √2.

La división, por la mitad, de un rectángulo √2 en dos nuevos rectángulos con la misma forma, puede continuarse de forma recursiva, generando una serie de retículas de rectángulos √2, de tamaños cada vez más pequeños.

Este es el motivo por el cual la Organización Internacional para la Normalización (ISO) estableció, en la norma ISO 216, que los formatos de papel fabricados y usados actualmente en la mayor parte de países del mundo, la serie DIN A (o sus derivadas B y C), tuvieran la proporción √2.

A. La serie está adaptada a ampliaciones y reducciones. La proporción de los diferentes tamaños de las hojas de papel DIN A (desde el DIN A0 al DIN A10) es siempre la misma, lo que facilita la ampliación y la reducción. El uso simultáneo de formatos con distintas proporciones dificultaría las labores de fotocopiado e impresión, puesto que al ampliar o reducir quedarían zonas sin fotocopiar o aparecerían espacios “negros”.

B. Es fácil pasar de un tamaño a otro. Se pasa de un tamaño al siguiente uniendo dos copias del primero, o al anterior, partiéndolo por la mitad. Así, uniendo dos DIN A4 obtenemos un DIN A3, y juntando dos DIN A3 se forma un DIN A2, sin embargo, si partimos una hoja DIN A4 por la mitad se consiguen dos hojas DIN A5.

Las medidas exactas de cada uno de los tamaños vienen determinadas por el hecho de que el papel de tamaño DIN A0 mide exactamente 1 m², o lo que es lo mismo 10.000 cm². De donde, las medidas del tamaño DIN A0 son 84,1 cm y 118,9 cm. Por lo tanto, si consideramos el tamaño más común, el DIN A4, como su superficie es igual a 10.000/16=625 cm², por la propiedad B anterior, y como la proporción es raíz de dos, tenemos que sus medidas son 21,022 cm y 29,729 cm.

La división de los rectángulos raíz cuadrada

La anterior propiedad geométrica es extensible a los rectángulos raíz cuadrada, es decir, a los rectángulos cuya proporción es la raíz cuadrada de un número natural, incluidos los números cuadrados.

Es decir, juntando n copias de un rectángulo √n, por su lado largo, se obtiene un rectángulo cuya proporción es también √n, para cualquier valor de n = 2, 3, 4, 5, etc. E inversamente, si se divide un rectángulo √n en n rectángulos, con n – 1 cortes paralelos al ancho, los rectángulos resultantes tienen también razón √n, como se observa en la siguiente imagen.

En la entrada Visitad los museos, también en clave matemática, mencionábamos una obra del artista madrileño Lucio Muñoz Martínez (1929-1998), que está en el Museo de Bellas Artes de Bilbao, titulada Gólgota (1964), que daba la impresión de estar relacionada con esta propiedad, pero para n = 3. Esta obra es un tríptico que representa la crucifixión de Jesús en el Gólgota, de ahí el título de la obra. Cada una de las tres partes que componen la pieza incluye a una figura humana, en el centro está Jesús y a sus lados los ladrones. Las medidas de esta pieza son aproximadamente 280 x 480,5 cm, que es un rectángulo próximo a un rectángulo raíz de tres, de manera que cada una de las tres tablas que componen el tríptico, de las mismas dimensiones, tienen a su vez la misma proporción que toda la obra. No he conseguido averiguar si Lucio Muñoz realizó esta elección de manera razonada o ha sido una simple casualidad. De ser así, que hermosa casualidad.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica