Media aritmética versus media geométrica, sin palabras
En la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada Formas ritmo-espacio se utilizaba una mirada matemática para analizar la obra homónima Formas ritmo-espacio (1966) del artista abstracto valenciano José María Yturralde (1942). A través de esa mirada matemática relacionamos la estructura de la pintura con una demostración visual de la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética de dos números. En esta entrada vamos a fijar nuestra atención sobre algunas demostraciones sin palabras de la mencionada desigualdad.
Las medias aritmética y geométrica
Empecemos esta entrada recordando las definiciones de estos sencillos conceptos matemáticos. Dada una colección de n números a1, a2, …, an se define la media aritmética como la suma de esos números (a1 + a2 + … + an), dividido por la cantidad de ellos (n), es decir,
Mientras que la media geométrica de esos n números se define como la raíz n-ésima del producto de los números, esto es,
Por ejemplo, si tomamos los números {1, 2, 4, 8}, entonces sus medias aritmética y geométrica son
Dicho de otra manera, si la media aritmética de 4 números es 3,75, entonces al multiplicar la media por la cantidad de números (3,75 x 4) se obtiene la suma de los números (3,75 x 4 = 15 = 1 + 2 + 4 + 8). Mientras que si la media geométrica de los 4 números es 2,83 (aproximadamente), entonces al elevar a la cuarta esa media (2,834), es decir, multiplicarla por sí misma cuatro veces, el resultado es el producto de los números (64 = 1 x 2 x 4 x 8).
La media aritmética informa del valor de equilibrio aritmético (o aditivo) entre los números, mientras que la media geométrica lo hace del factor de equilibrio proporcional (o multiplicativo). Podríamos poner algunos ejemplos prácticos de esta interesante cuestión, pero vamos a centrar la presente entrada en la desigualdad que existe entre ambas, la media aritmética MA de una colección de números es mayor, o igual, que la media geométrica MG de los mismos.
Y la igualdad se da únicamente cuando todos los números son iguales.
Medias aritmética y geométrica: desigualdad 1
Como comentábamos, en esta entrada vamos a mostrar una serie de “demostraciones sin palabras” de la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica de dos números. No es la primera vez que mostramos demostraciones sin palabras en el Cuaderno de Cultura Científica, de hecho, podéis encontrar varias entradas muy interesantes con este tipo de pruebas visuales. Pero recordemos brevemente en qué consisten.
En 1973, el gran divulgador de las matemáticas estadounidense Martin Gardner (1914-2010), se refirió a las demostraciones sin palabras como diagramas “en un vistazo” y señaló que “en muchos casos, una demostración farragosa puede ser suplida por una geométrica análoga, tan simple y bella que la veracidad de un teorema es casi vista en una ojeada”. Como comenta el matemático Roger B. Nelsen, una de las personas que más ha hecho por la difusión de las demostraciones sin palabras y autor de la serie de libros Proofs without Words (MAA), las demostraciones sin palabras no son realmente demostraciones matemáticas en sí mismas, son más bien diagramas, esquemas o dibujos que nos ayudan a comprender por qué un teorema es cierto o que encierran la idea de la verdadera demostración matemática. Son sugerentes, atractivas y todo un ejercicio de estímulo del pensamiento.
La primera demostración sin palabras que vamos a mostrar de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de dos números se apoya en el mismo esquema de la pintura de Yturralde, como vamos a ver, y en la expresión del cuadrado de un binomio. La imagen de la demostración, que se explica por sí sola, es la siguiente.
Esta demostración que aparece recogida en el libro Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, de Roger B. Nelsen, fue publicada por la matemática estadounidense Doris Schattschneider (1939), experta en teselaciones, que fue colaboradora de Martin Gardner y creadora (junto a Eugene Klotz) del conocido software de geometría interactiva The Geometer’s Sketchpad, en la revista Mathematics Magazine, en 1986 (vol. 59, no. 1, p. 11).
Medias aritmética y geométrica: desigualdad 2
La siguiente prueba visual de la desigualdad entre la media aritmética y geométrica de dos números también aparece recogida en el libro Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking. Fue publicada por el matemático estadounidense, especializado en educación matemática, Charles D. Gallant (1940-2023), en la revista Mathematics Magazine, en 1977 (vol. 50, no. 2, p. 98).
Esta demostración se basa en el siguiente enfoque geométrico de la media geométrica de dos números, que viene recogida en la gran obra de la matemática griega y universal Los Elementos del matemático griego Euclides (aprox. 325-265 a.n.e.), en su Libro VI.
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura que va desde el vértice del ángulo recto a la hipotenusa (base), esta altura es la media geométrica de los segmentos en los que se divide la base mediante la altura.
La demostración de este resultado se basa en la semejanza de triángulos. Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la anterior imagen), se traza la altura CX desde el vértice del ángulo recto, entonces los tres triángulos ABC, AXC y XBC son semejantes, esto es, tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales. Teniendo en cuenta la semejanza de estos triángulos se tiene que AX / XC = XC / BX, luego (XC)2 = AX.BX = ab.
Con esta información en mente la siguiente demostración sin palabras de Gallant está clara.
Aprovechemos para mostrar un nuevo enfoque geométrico de la media geométrica de dos números, que también se deduce de la semejanza de triángulos. De nuevo, si partimos de un triángulo rectángulo y se traza la altura que va desde el vértice del ángulo recto a la hipotenusa (base), para cualquiera de los dos triángulos rectángulos pequeños, que es semejante al inicial, uno de sus catetos es la media geométrica entre su proyección sobre la hipotenusa y la propia hipotenusa del triángulo rectángulo grande, como se observa en la siguiente imagen.
Medias aritmética y geométrica: desigualdad 3
La siguiente demostración sin palabras puede considerarse un nuevo enfoque geométrico de la media geométrica de dos números, que se demuestra por el teorema de Pitágoras.
Dados los dos números a y b, se consideran dos circunferencias de diámetros a y b, respectivamente, que sean tangentes entre sí, y la recta tangente a ambas circunferencias, entonces la longitud del segmento que une los dos puntos de tangencia es la media geométrica de los diámetros de las circunferencias.
Esta curiosa demostración visual de la desigualdad entre la media aritmética y geométrica de dos números fue publicada por el matemático canadiense Roland H. Eddy, en la revista College Mathematical Journal en 1985 (vol. 16, no. 3, p. 208).
Medias aritmética y geométrica: desigualdad 4
La siguiente demostración visual utiliza dos de los diagramas geométricos más conocidos relacionados con las demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras, la más clásica de todas, basada en la que aparece en el libro clásico de la matemática china Zhoubi Suanjing (entre los siglos XI y II a.n.e.) y la demostración del matemático indio Bhaskara II (aprox. 1114-1185), que podéis ver en la entrada Pitágoras sin palabras.
Esta demostración sin palabras fue publicada por el matemático de la Universidad de Pensilvania Ayoub B. Ayoub en la revista Mathematics and Computer Education, en 1997 (vol. 31, no. 2, p. 191).
Medias aritmética y geométrica: desigualdad 5
Vamos a terminar esta entrada con una curiosa demostración sin palabras, que sorprende por su simplicidad. La demostración se debe al matemático mexicano, profesor en la Universidad de Delaware (EE.UU.), Alfinio Flores y fue publicada en la revista The College Mathematics Journal en el año 2000 (Vol. 31, No. 2, p. 106).
Bibliografía
1.- Roger B. Nelsen, Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, 1997.
2.- Roger B. Nelsen, Proofs Without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, 2001.
3.- Roger B. Nelsen, Proofs Without Words II: Further Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, 2015.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica
