El estudio de la historia de la humanidad se divide en dos grandes períodos, que son la prehistoria, que abarca desde la aparición de la especie humana, desde sus primeros ancestros, hasta la aparición de la escritura, y la historia, que abarca desde el final de la prehistoria hasta la actualidad.

Se considera que el punto de inflexión en el estudio de la historia de la humanidad fue el origen de la escritura. La invención de la escritura supuso un avance intelectual muy importante para el ser humano, puesto que requería que la mente humana desarrollase una capacidad de abstracción significativa, y cambió completamente su existencia. La escritura permite plasmar los pensamientos “en papel”, recoger con precisión el lenguaje hablado y es un medio de expresión y de comunicación que posibilita guardar los registros de forma duradera. Y para la historia, en cuanto disciplina, significó poder disponer de fuentes escritas perdurables para estudiar los hechos históricos.

Simplificando la cuestión, puesto que los diferentes pueblos de la antigüedad fueron desarrollando de forma independiente sus propias formas de comunicación oral y escrita, puede decirse que la escritura fue inventada a finales del milenio IV a.c. en Sumeria, la zona sur de la antigua Mesopotamia, comprendida entre el Tigris y el Éufrates.

Sin embargo, la invención de los números cambió también la existencia de los seres humanos. Los números no son tan solo una parte de nuestro lenguaje, oral o escrito, sino que son una herramienta fundamental en nuestra sociedad, que permiten, por ejemplo, medir, establecer una ubicación física o temporal, contar, ordenar y clasificar, comprar y vender, de hecho, desarrollar toda la economía, o codificar, por no hablar de su papel en la presente era digital. Su creación necesitó también de un significativo proceso de abstracción, que le llevaría varios milenios a la humanidad.

Por último, la invención de la escritura de los números se produce justo antes de la aparición de la escritura, en el sentido usual, pero no como algo casual, sino que el número escrito acompañaría a la palabra escrita en su nacimiento. Como escribe Antonio Durán en Vida de los números, “los números ejercieron de matrona de la escritura”.

El origen de los números, así como su grafía, es un proceso sumamente complejo, que tuvo muchos protagonistas en diferentes partes del planeta y se desarrolló a lo largo de varios milenios.

La primera etapa en la existencia del ser humano hacia la creación de los números fue tomar conciencia de que podía conocerse si dos conjuntos tenían la misma cantidad de objetos, sin que existiera la idea de número. Dos conjuntos poseen la misma cantidad de objetos, independientemente de cuál sea esa cantidad, si podemos establecer una relación “uno a uno” entre los elementos de ambos. Hace milenios los pastores podían comprobar, sin conocer los números, si todas las ovejas que habían sacado a pastar por la mañana regresaban a la tarde. Para ello, los pastores debían de colocar una piedra, u otro pequeño objeto, en algún recipiente, por cada oveja que salía a pastar al campo, y cuando regresaban, iban sacando una piedra por cada animal que llegaba. Sabían que habían regresado todas si al final no quedaba ningún guijarro en el recipiente, y que se había perdido alguna oveja, o habían sido atacadas por los lobos, si aún quedaban piedras.

Pero, además, se produjo un avance significativo hacia el concepto de número porque el ser humano introdujo una familia de objetos de referencia, ya fuesen estos los dedos de las manos, piedras, nudos en una cuerda, muescas en el suelo, en un palo o en un hueso, para poder asociar cualquier cantidad de animales, plantas u objetos con el mismo número del conjunto de referencia. Así, dos ovejas se correspondían con dos dedos, dos muescas o dos piedras, cinco personas con cinco muescas. Este fue el origen del primer concepto de número desarrollado por la humanidad, así como el proceso de contar asociado, operación que consiste en añadir un objeto de referencia más por cada nuevo sujeto a contar. Esos elementos de referencia “inventados” se podían utilizar para “contar” cualquier conjunto de objetos y eran manejados por todas las personas de una misma zona.

El anterior fue un proceso de abstracción que duró varios milenios. Las primeras evidencias de registros numéricos, tengamos en cuenta que si se utilizaban partes del cuerpo humano o materiales degradables el registro desaparecía, son de hace más de 30.000 años, un hueso (peroné) de babuino con 29 muescas y un hueso (tibia) de lobo con 57 muescas, agrupadas de 5 en 5.

El siguiente avance lo constituyó la invención de la base de la numeración. Representar números cada vez mayores utilizando los dedos de la mano o por acumulación de muescas, nudos o guijarros se hizo inviable, además de la dificultad para distinguir, sin saber contar, entre un grupo alto de marcas, nudos u otros objetos de referencia, por ejemplo, entre IIIIIII y IIIIIIII. Se empezaron a agrupar formando grupos de 5 o 10, o incluso otras cantidades. Es decir, cada 5 o 10 muescas, piedras o nudos, se marcaba una muesca, piedra o nudo distinto, que tenía el valor de 5 o 10 de los normales, creando una jerarquía de símbolos.

Georges Ifrah, en Historia universal de las cifras, narra la historia de un pueblo de Madagascar que, para contar el número de soldados de su ejército, estos pasaban en fila y cada uno depositaba un guijarro en una pequeña zanja en el suelo, cuando llegaba el décimo, este extraía las 10 piedras de la misma y en su lugar colocaba una en una segunda hendidura, reservada para las decenas. Y se continuaba colocando guijarros en el primer hoyo hasta que este se llenaba de nuevo con 10 piedras, con el soldado 20, momento en el que se vaciaba esa primera cavidad y se colocaba un segundo guijarro en la segunda. Cuando la segunda zanja llegaba a tener diez piedras, se extraían y se colocaba una de ellas en una tercera hendidura, la de las centenas, y así sucesivamente. De manera que, si al terminar de pasar los guerreros había 3 guijarros en la primera zanja, 7 en la segunda y 4 en la tercera, el número de guerreros era 473.

Muchos pueblos han utilizado el 10 como base, debido a que nuestras manos fueron el primer sistema de referencia y la primera calculadora que tuvo el ser humano. Además, esa misma idea en la que se basan los malgaches, es la que se utiliza en el ábaco.

De forma paralela al desarrollo del concepto de número, se fueron desarrollando las operaciones aritméticas. En Kenia cuando iba a salir una expedición militar, cada guerrero masai depositaba un guijarro en un montón, y a la vuelta cada superviviente cogía uno del mismo. De esta forma, se tenía conocimiento de las pérdidas sufridas, ya fueran muertos o prisioneros. La cantidad de piedras que quedaba era el resultado de los guerreros iniciales menos los que habían vuelto.

Un tema de estudio muy interesante son los diferentes sistemas de numeración que se fueron generando en la antigüedad por los diferentes pueblos, así como los algoritmos para el cálculo de las operaciones aritméticas que se desarrollaron. El libro Historia universal de las cifras de Georges Ifrah es la referencia obligada sobre esta cuestión, aunque en la bibliografía se citan algunas entradas del Cuaderno de Cultura Científica en las cuales se muestran algunos ejemplos.

Pero regresemos al tema central de esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, cómo, y porqué, se desarrolló la escritura de los números y qué relación tuvo con la invención de la escritura.

Hacia el final de la prehistoria de la humanidad, el ser humano empezó a asentarse, abandonando su vida nómada, y con los asentamientos inició el desarrollo de la agricultura y la ganadería, y fruto de todo ello, se originó el comercio, primero el intercambio de productos y, posteriormente, la compra-venta. Después empezó a vivir en grandes asentamientos, en ciudades, lo que llevó a la organización y gobierno de las mismas, y de otras estructuras socio-económicas más amplias, a la creación de servicios y a un mayor comercio. Los números y la aritmética se hicieron fundamentales en estas sociedades, fue el origen de la contabilidad. Incluso existieron profesionales dedicados a las labores aritméticas y de registro de la contabilidad.

Una de las zonas de la Tierra en las que se produjo esta transformación fue Mesopotamia, Elam y alrededores, que es el lugar en el que se originó la escritura, también la escritura de los números.

Los primeros números que utilizaron los sumerios o los elemitas fueron “cálculos”, objetos de barro de diferentes formas y tamaños, que utilizaron tanto para representar los números, como para realizar con ellos las operaciones aritméticas. Su antigüedad se remonta, al menos, al milenio IV a.n.e.

Los números sumerios consistían en un sistema de numeración aditivo (es decir, al igual que los números romanos, cada número se obtiene por acumulación de las cifras básicas), de base mixta 10 y 60, cuyas cifras básicas eran un cono pequeño 1, una bola pequeña 10, un cono grande 60, un cono grande perforado 600 (= 60 x 10), una esfera 3.600 (= 60²) y una esfera perforada 36.000 (= 60²x 10), y se desconoce cuál era la forma de la figura de barro, si existía, para la siguiente cantidad, 216.000 (60³).

Como el sistema de numeración sumerio era aditivo, para representar el número 164.571, se utilizaban 4 esferas perforadas, 5 esferas, 4 conos grandes perforados, 2 conos grandes, 5 esferas pequeñas y 1 cono pequeño, ya que 164.571 = 4 x 36.000 + 5 x 3.600 + 4 x 600 + 2 x 60 + 5 x 10 + 1 x 1.

Y con estos guijarros de arcilla, los sumerios realizaban además las operaciones aritméticas que necesitaban para la contabilidad que necesitaban. Eran métodos muy sencillos, que no abordaremos aquí, por falta de espacio, pero que cualquiera puede imaginar, si se pone a ello.

En otras zonas, como la vecina Elam, los cálculos (de arcilla) eran un poco diferentes, así como sus valores, un bastoncillo 1, una bola 10, un disco 100, un cono pequeño 300 y un cono grande perforado 3.000. Aunque esencialmente era un sistema de numeración similar, con idénticos métodos de cálculo de las operaciones aritméticas.

Así, alrededor del año 3.500 a.c. en Sumeria (y también, en Elam) empiezan a sentir la necesidad de guardar constancia de las informaciones numéricas asociadas a las transacciones económicas o de los muy diversos datos estadísticos relacionados con la vida y el gobierno de Sumeria, por ejemplo, las cantidades de cereales y animales implicados en una compra-venta entre un agricultor y un ganadero, el registro del número de ovejas de un pastor o la población de las diferentes ciudades de Sumeria. Para ello se representaba la cantidad en cuestión con los guijarros de arcilla de su sistema de numeración y se introducían estos en el interior de una bola de arcilla fresca, se cerraba y en el exterior de la misma se imprimían uno o dos sellos cilíndricos para garantizar su origen e integridad (por supuesto, los gobernantes o familias poderosas eran quienes tenían sellos cilíndricos). Al secarse la arcilla se conservaba dentro la información numérica deseada. Pasado un cierto tiempo, si era el momento de comprobar la información, por ejemplo, para realizar el pago de la compra-venta, se rompía la bola de arcilla y se podía acceder a la información numérica guardada. Podríamos decir que fue el primer recibo de la historia.

Planteemos una situación hipotética en las que pudo utilizarse este sistema de registro numérico. Imaginemos un ganadero y un agricultor sumerios que pretenden intercambiar bueyes por trigo, y llegan a un acuerdo de compra-venta de 14 bueyes a cambio de 686 cestos de trigo, a entregar al finalizar la época de siega del cereal. Deberán recoger la información de la transacción, para cuando se produzca esta no haya ninguna duda. Para ello el ganadero introduce una bola y dos conos pequeños, para registrar la cantidad de 12 bueyes, en una bolsa de arcilla fresca, después la cierra e imprime su sello cilíndrico en el exterior. Por su parte, el agricultor introduce un cono grande perforado, un cono grande, dos bolas y seis conos pequeños, para indicar los 686 cestos de trigo, en otra bolsa de arcilla fresca, que después cerrará e imprimirá con su sello cilíndrico personal. Una vez secas, intercambiarán las bolsas de arcilla, con las cantidades registradas, que guardarán hasta el momento de realizar el intercambio de los productos. Otra posibilidad es que exista un funcionario del gobierno que certifique la transacción imprimiendo su sello a la bolsa de arcilla.

Con el fin de no tener que romper la bolsa de arcilla cada vez que se quería comprobar la cantidad registrada, lo que implicada además tener que volver a preparar otra bolsa de arcilla nueva, se empezaron a marcar los “cálculos” que luego iban a introducirse en la bolsa de arcilla, sobre el exterior de la misma. De esta forma observando el exterior de la bolsa de arcilla ya se conocía la cantidad representada en el interior.

El siguiente paso en el camino hacia el inicio de la escritura numérica, fue que los sumerios se percataron de que realmente no necesitaban los “cálculos” que estaban dentro de la bolsa de arcilla, bastaba con observar las impresiones en el exterior para conocer el número que se representaba en la misma. Por este motivo, se empezaron a utilizar simplemente tablillas frescas de arcilla sobre las que se presionaban los “cálculos” y quedaba registrado el número contable, manteniendo la idea del sello cilíndrico por encima de las cantidades, como certificación de autenticidad.

En las primeras tablillas de arcilla, atendiendo a las tablillas sumerias arcaicas conservadas, se consignaban solamente las cantidades, sin especificar a qué se referían estas, y una tablilla para cada cantidad. Se utilizaba simplemente una tablilla con el número 137 impreso si por ejemplo se pretendía hacer un registro de 137 sacos de trigo, y si se quería hacer otro registro, por ejemplo, de 63 ovejas, se tomaba otra tablilla de arcilla fresca y se representaba el número 63. Tampoco quedaba registrada la propia naturaleza de la operación contable, una compra-venta, un reparto, un inventario de bienes, etc.

Como lo importante eran las marcas que quedaban impresas en la arcilla, y no los propios “cálculos”, se empezaron a realizar esas marcas con un sencillo buril (en el caso de los números sumerios, muesca fina 1, impresión circular pequeña 10, muesca grande 60, muesca con impresión circular pequeña 600, impresión circular grande 3.600, impresión circular grande con impresión circular pequeña 36.000), que irían derivando hacia una grafía cuneiforme.

Las transacciones económicas se fueron multiplicando, así como los registros contables de las mismas, por lo que hacia el año 3.100 a.n.e. se empezaron a incluir diferentes registros en una misma tablilla (como en la imagen de arriba) y a utilizarse pictogramas, que son los primeros signos de la escritura, para indicar los objetos a los que se refería cada cantidad de la tablilla (cereales, ovejas, caballos, jabalíes, pan, ropa, etc). Estos pictogramas que al principio solo registraban objetos, poco a poco fueron incorporando otros significados, por ejemplo, acciones. Así mismo, se empezaron a combinar varios pictogramas para obtener nuevos significados. Fue el nacimiento de la escritura.

En la siguiente imagen vemos algunos pictogramas sumerios arcaicos.

Y vemos la evolución de algunos de los pictogramas hacia su forma cuneiforme.

Más aún, a lo largo de los siguientes siglos, esos pictogramas acabarían derivando en un lenguaje escrito en el que las imágenes, los signos, representaban sonidos del lenguaje oral (hacia el 2.800-2.700 a.c.). Como explica Ifrah, la imagen de un horno deja de emplearse en las tablillas para significar el objeto, sino que pasa a expresar el sonido “ne”, que era la palabra sumeria para horno. O la representación gráfica de una flecha, cuyo vocablo en sumerio es “ti”, se utiliza para representar este sonido. Como vida se decía también “ti” en sumerio, el signo escrito de la flecha sirvió también para designar a la vida. La flecha pasó a representar, no un objeto, sino un fonema. La palabra sumeria para herrero era “ti-bi-ra”, y se representaba por tanto con tres signos, el primero de los cuales es una flecha. El carácter deja de ser un pictograma, para convertirse en un fonograma.

Terminamos con una imagen de uno de esos sellos cilíndricos de los que hemos hablado en la entrada.

Biblioteca

1.- Antonio J. Durán (idea), Vida de los números, textos de Antonio J. Durán, Georges Ifrah, Alberto Manguel, T ediciones, 2006.

2.- Georges Ifrah, Historia universal de las cifras, Espasa, 1997 (quinta edición, 2002).

3.- Museo del Louvre

4.- Institut Royal des Sciences Naturelles de Belgique, Bruxelles

5.- Raúl Ibáñez, Quipu y yupana, instrumentos matemáticos incas (I), Cuaderno de Cultura Científica, 2018.

6.- Raúl Ibáñez, Quipu y yupana, instrumentos matemáticos incas (II), Cuaderno de Cultura Científica, 2018.

7.- Raúl Ibáñez, ¿Sueñan los babilonios con multiplicaciones eléctricas?, Cuaderno de Cultura Científica, 2016.

8.- Raúl Ibáñez, Multiplicar no es difícil: de los egipcios a los campesinos rusos, Cuaderno de Cultura Científica, 2016.

9.- Raúl Ibáñez, Los huesos de Napier, la multiplicación árabe y tú, Cuaderno de Cultura Científica, 2016.

10.- Raúl Ibáñez, Los números deben de estar locos, Cuaderno de Cultura Científica, 2014.

11.- Raúl Ibáñez, El gran cuatro, o los números siguen estando locos, Cuaderno de Cultura Científica, 2017.

12.- Raúl Ibáñez, La insoportable levedad del tres, o la existencia de sistemas numéricos en base tres, Cuaderno de Cultura Científica, 2017.

13.- Raúl Ibáñez, Uno, dos, muchos, Cuaderno de Cultura Científica, 2017.

14.- Denise Schmandt-Besserat, The Earliest Precursor of Writing, Scientific American, Vol. 238, No. 6, p. 50-58, 1977.

15.- CDLI-Cuneiform Digital Library Initiative

16.- Christopher Woods (editor), Visible Language: Inventions of Writing in the Ancient Middle East and Beyond, Oriental Institute Museum Publications, n. 32, The Oriental Institute, 2015.

17.- Louis-Jean Calvet, Historia de la escritura, Paidos, 2001.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica