Infinitos

Matemoción

Puedo contar… hasta el infinito

Eugène Ionesco, La lección

Cuando hablamos de manera informal, aludimos al infinito al referirnos a algo “muy grande”, a algo inalcanzable o lejano, a algo que no termina…

El concepto de infinito aparece en matemáticas, en filosofía y en otras ramas de la ciencia. Muchas paradojas relacionadas con la lógica están vinculadas con el infinito. De algunas de ellas hemos hablado en ¿Cuántas bolas contiene el jarrón al mediodía?, Una paradoja del infinito: ¿riqueza o ruina?, Una paradoja del infinito: la oferta del diablo, Infinitos monos o La paradoja de Tristram Shandy.

La idea de infinito es difícil de aprehender. Porque no hay un único infinito. Por ejemplo, los números enteros y los reales son infinitos, pero los primeros son numerables y los segundos no. Son conjuntos infinitos pero “de distinto tamaño”. Pero no hay que dejarse llevar por la apeirofobia, es mejor intentar entender lo que significa el infinito en cada momento… y disfrutar.

El cosmólogo John Barrow (1952) escribió en 2005 el libro de divulgación The infinity book: A Short Guide To The Boundless, Timeless, and Endless en el que hablaba del significado del infinito a lo largo de la historia, y de lo que este concepto ha influido en nuestro conocimiento y percepción del mundo. Y después escribió el libreto de Infinities, obra de teatro basada en este libro, estrenada en marzo de 2002 en Milán, representada por el Piccolo Teatro y dirigida por Luca Ronconi. Unos meses más tarde, se escenificó en La Nau de Valencia.

La obra se representa en una nave industrial dividida en cinco escenarios, con 65 actrices y actores involucrados. Cada escenario presenta el concepto de infinito desde un punto de vista diferente. El público va entrando en grupos de entre 60 y 80 personas; se mueven a través de los cinco escenarios, por turnos, permaneciendo en cada uno de ellos unos 15 minutos. La obra parece de este modo “infinita” al repetirse cada escena sin cesar.

Escenario 1: ¡Bienvenidos al Hotel infinito!

Trata del famoso Hotel infinito de Hilbert –que posee una cantidad numerable de habitaciones, es decir, ordenadas del modo 1, 2, 3, 4, 5, etc.–. El recepcionista tiene como misión alojar a cualquier visitante que llegue al hotel, a pesar de que se encuentre lleno. Un actor explica las recolocaciones que deben realizarse en las habitaciones para conseguir alojar a todos los huéspedes. Utiliza un monitor que aclara las operaciones matemáticas necesarias para lograrlo.

Por ejemplo, si llega un forastero, basta con desplazar el huésped de la habitación número n a la habitación n+1, y así la habitación número 1 queda libre para el recién llegado.

Recolocaciones cuando llega un forastero. Imagen: Marta Macho Stadler.

Incluso si llegan infinitos –en cantidad numerable– nuevos visitantes, el recepcionista encontrará sitio para ellos: el huésped de la habitación número n pasará a la habitación 2n, y así todas las estancias impares quedarán libres para alojar a los recién llegados. En este último caso, la propiedad que entra en juego es la que afirma que el cardinal de los números naturales, pares e impares, ¡es el mismo!

Recolocaciones cuando llegan infinitos forasteros. Imagen: Marta Macho Stadler.

Escenario 2: La vida eterna

El público accede a una gran caja negra llena de personas ancianas que leen, abatidas, en sus sillas. Visten viejas ropas de época. La atmósfera es asfixiante. Los largos monólogos crean un ambiente de monotonía que conduce irremediablemente a la idea de eternidad. Se plantean diversas cuestiones. ¿Es realmente apetecible la vida eterna? ¿Qué consecuencias personales provocaría? ¿No es mejor una vida limitada, pero única e intensa?

Escenario 3: La replicación infinita

Este escenario teatraliza la Biblioteca de Babel de Jorge Luis Borges, esa biblioteca que lo alberga todo. Este fragmento del libro de Borges describe esa biblioteca:

A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras. […] La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte.

La biblioteca de Babel. Imagen: Wikimedia Commons.

Mediante juegos de espejos se produce la fantasía de ‘biblioteca infinita’. El público recorre esos pasillos mientras las voces de los actores resuenan a su alrededor. Los protagonistas visten igual y llevan máscaras idénticas, no es posible distinguirlos. Parece que cada vez hay más y más sobre el escenario. Con estas incesantes replicaciones se sugiere la imposibilidad de individualidad.

Este escenario simboliza la vida en un universo donde nada comienza. Todo se rehace incesantemente. Ninguna idea es nueva. Nada se realiza por primera vez ni por última. Nada es único. Cada persona posee réplicas ilimitadas de sí misma.

En un universo de este tipo, infinito, todo aquello que posee una probabilidad no nula de suceder ocurriría infinitas veces. En ese mundo existiría, en cada instante, un número infinito de reproducciones de cada uno de nosotros realizando nuestras mismas acciones, y otro número infinito de copias haciendo cualquier otra cosa. De hecho, habría una infinidad de copias de nosotros mismos realizando cualquier actividad con probabilidad no nula… ¡Realmente inquietante!

Escenario 4: El infinito no es un gran número

Este escenario habla acerca del famoso conflicto entre los matemáticos Georg Cantor y Leopold Kronecker acerca de la naturaleza del infinito. Según Kronecker, las matemáticas sólo podían construirse perfectamente si recurrían exclusivamente a los números enteros y a un número finito de operaciones. Las revolucionarias ideas de Cantor sobre el infinito fueron sistemáticamente rechazadas por Kronecker.

Leopold Kronecker y Georg Cantor. Imagen: Wikimedia Commons.

En este escenario, la convulsa vida de Cantor –que sufrió numerosas depresiones a lo largo de su vida– se presenta a través de un actor inmovilizado en una silla de ruedas y vendado. Mientras tanto Kronecker –que es quien retiene a su alumno en esa silla– le da lecciones, desvariando, en una simulada aula en la que el público participa como parte del alumnado.

Escenario 5: ¿Es posible viajar en el tiempo?

En este escenario el público entra en un gran espacio abierto. Una anciana atraviesa la estancia vacilando. En cierto momento aparece su nieto que lleva una silla de ruedas hacia ella –aludiendo a la famosa paradoja de la abuela–. La idea de viaje en el tiempo se muestra a través de un tren con mesas, donde los pasajeros se sientan en ambas direcciones, sugiriendo un recorrido de ida y vuelta.

Pueden verse imágenes de esta obra en la referencia [5]. Sin duda, se trata de una inspiradora manera de hablar sobre el infinito, porque…

Un país sin teatro es un país sin espejos.

Rodolfo Usigli

Referencias

[1] R. Hoffmann and S. Coyaud, Infinite ideas. A theatrical contemplation of infinity makes full use of industrial space, Nature 416, 585, 11 abril 2002

[2] Marta Macho Stadler, Infinities de John Barrow, DivulgaMAT, 2009

[3] Marcus de Sautoy, To infinity and beyond, The Guardian, 5 noviembre 2003

[4] K. Shepherd-Barr, Hilbert’s Hotel, Other Paradoxes, Come to Life in New «Math Play», SIAM News 36 (7), septiembre 2003

[5] Algunas fotografías de la representación en Milán, Piccolo Teatro

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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