El principio de incertidumbre, cualitativamente

Experientia docet Cuantos Artículo 6 de 11

Foto: Jaredd Craig / Unsplash

Hasta este momento hemos asumido que cualquier propiedad física de un objeto se puede medir con la precisión que sea necesaria. Dicho de otra forma, hemos dado por sentado que para alcanzar cualquier grado deseado de precisión se requeriría tan solo un instrumento lo suficientemente preciso. Sin embargo, la mecánica ondulatoria demostró que incluso en los experimentos mentales con instrumentos ideales existen límites para la precisión de las mediciones que se pueden hacer.

Por ejemplo, pensemos en cómo mediríamos las posiciones y la velocidad de un automóvil que se mueve muy lentamente a lo largo de una carretera recta. Podemos marcar la posición del extremo delantero del automóvil en un instante dado haciendo una marca en el suelo. Al mismo tiempo, podemos poner en marcha un cronómetro. Podemos correr entonces hasta donde hemos colocado otra marca. En el instante en que la parte delantera del automóvil llega a este punto, detenemos el reloj. Midiendo la distancia entre las marcas y podemos obtener la velocidad promedio del automóvil dividiendo la distancia recorrida por el tiempo transcurrido. Como conocemos la dirección del movimiento del automóvil, conocemos la velocidad promedio [1]. Por lo tanto, conocemos que, en el momento en que el automóvil alcanzó la segunda marca, estaba a cierta distancia de su punto de partida (posición) y había viajado a una velocidad promedio determinada. Si reducimos cada vez más el tamaño de las distancias para las que medimos el tiempo, nos iríamos aproximando al valor la velocidad instantánea en cualquier punto a lo largo de su trayectoria.

¿Cómo obtendríamos la información necesaria para este experimento? Localizaríamos el automóvil empleando la luz del Sol que se reflejaba en la parte delantera y llega a nuestros ojos. La misma clase de luz nos permite ver cuándo alcanza el automóvil una marca en el suelo. [2]

Pero supongamos que vamos a utilizar ondas de radio en lugar de luz visible. A 1000 kHz, un valor típico para señales de radio, la longitud de onda es de 300 m [3]. Esta longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del automóvil. Por lo tanto, sería imposible ubicar la posición del automóvil con precisión. La onda se reflejaría desde el automóvil [4] en todas las direcciones. También rodearía cualquier dispositivo de tamaño humano que deseemos utilizar para detectar la dirección de la onda.

Por tanto, de este simple experimento mental podemos concluir que la longitud de onda tiene que ser comparable o menor que las dimensiones del objeto para que éste pueda ubicarse bien.

El radar usa longitudes de onda de entre aproximadamente 0,1 cm a 3 cm, por lo que podría usarse un aparato de radar en lugar de la luz solar. Pero incluso el radar dejaría incertidumbres de hasta varios centímetros en las dos mediciones de posición [2]. La longitud de onda de la luz visible es inferior a 10-6 m. Para la luz visible, entonces, podremos diseñar instrumentos que ubican la posición del automóvil con una precisión de unas pocas milésimas de milímetro.

Ahora pensemos en un electrón que se mueve a lo largo de un tubo en el que ha hecho el vacío. Nuestra objetivo es medir la posición y la velocidad del electrón. Pero visto lo que pasa con el automóvil, sabemos que debemos elegir el método de medición adecuado. El electrón es tan pequeño que no podemos establecer su posición utilizando luz visible ordinaria. [5]

Estamos intentando localizar el electrón dentro de una región pequeña, digamos el tamaño de un átomo, de unos 10-10 m de diámetro. Por lo tanto, necesitamos un haz de luz cuya longitud de onda sea de aproximadamente 10-10 m o menos. Pero un fotón de una longitud de onda λ tan corta (y alta frecuencia f) tiene un gran momento lineal (p = h/λ) y energía (hf). Sabemos por los experimentos de Compton que un fotón así le dará un fuerte empujón al electrón cuando sea dispersado por éste. Como resultado, la velocidad del electrón cambiará enormemente, en una dirección nueva y desconocida. [6] Por lo tanto, cuando captamose el fotón dispersado, podremos deducir de su dirección dónde estuvo el electrón; en este sentido podemos «localizar» el electrón. Pero en el proceso hemos cambiado la velocidad, y por tanto el momento lineal, del electrón (tanto en magnitud como en dirección).

En definitiva, y visto lo visto, cuanto más exactamente ubiquemos el electrón usando fotones de longitud de onda cada vez más corta, con menor precisión podremos conocer su momento.

Podríamos tratar de perturbar menos el electrón usando fotones menos energéticos. Pero debido a que la luz existe en cuantos de energía hf, un fotón de menor energía tendrá una longitud de onda más larga, ¡y esto crearía una mayor incertidumbre sobre la posición del electrón!

Notas:

[1] Sí, ya sé que esta última frase suena un poco rara. Está ahí para recordarte que la velocidad es un vector y que lo que estamos hablando es cierto porque conocemos la dirección y sentido del movimiento y que, por tanto, nos estamos limitando a determinar el modulo de ese vector velocidad. Para obviar la frase tendríamos que hablar de celeridad, que es como se llama el módulo de la velocidad, y no de velocidad, pero entonces existiría la posibilidad de que te confundieses y tendría que hacer otra nota como esta para aclararlo.

[2] Es importante señalar que para obtener la velocidad promedio, tenemos que ubicar dos veces donde está la parte delantera del automóvil. Esto, que parece una obviedad en nuestra experiencia diaria, deja de serlo en cuanto bajamos a la escala atómica.

[3] Véase Características de una onda periódica

[4] Se «dispersaría» sería un término mejor.

[5] La longitud de onda de la luz visible, por pequeña que sea, sigue siendo al menos 104 veces mayor que el diámetro de un átomo. Véase El tamaño del átomo de hidrógeno.

[6] ¡Este es un problema nuevo, uno en el que ni siquiera pensamos cuando medimos la posición del automóvil!

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

2 comentarios

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *