El problema de los 17 caballos

Matemoción

17 caballos
Foto: Louise Pilgaard / Unsplash

En ocasiones, cuando estoy pensando sobre qué escribir para la nueva entrada del Cuaderno de Cultura Científica, acudo a un libro que me gusta mucho, se trata del libro Famous Puzzles of Great Mathematicians (Rompecabezas famosos de grandes matemáticos), de Miodrag S. Petkovic. Hace poco revisaba algunos de los problemas de los que se habla en el libro cuando me topé con un clásico de la matemática recreativa, el problema de los 17 caballos, que también recibe otros nombres, como el problema de los 17 camellos, que es el nombre con el que yo lo conocía, o el problema de la herencia. El problema, en su forma más directa y sencilla, dice lo siguiente.

Problema de los 17 caballos: Un hombre muere y deja una herencia de diecisiete caballos que tiene que repartirse entre sus tres hijos en las proporciones 1/2 : 1/3 : 1/9 ¿Pueden los tres hermanos cumplir la voluntad de su padre?

Una rápida mirada a este problema nos dice que es un problema paradójico, o al menos problemático, puesto que 17 no se puede dividir ni por 2, ni por 3, ni por 9, luego la solución no va a ser inmediata si asumimos que los caballos no se pueden partir en trozos (por este motivo en algún texto matizan que los caballos tienen que repartirse vivos).

Este problema me recuerda a un problema chiste de una obra de teatro de los Hermanos Marx, de 1910, titulada Fun in High Skule:

Groucho: Si tuvieses 10 manzanas y quisieras repartirlas entre seis personas ¿qué harías tú?

Gummo: Haría compota de manzana.

Groucho: ¿Cuál es la forma de la Tierra?

Harpo: Pues no lo sé.

Groucho: Bien, veamos, ¿cuál es la forma de mis gemelos?

Harpo: Cuadrada.

Groucho: No los gemelos de diario, sino los que yo visto los domingos.

Harpo: Ah, redonda.

Groucho: Muy bien, ¿cuál es la forma de la Tierra?

Harpo: Cuadrada entre semana y redonda los domingos.

17 caballos
Foto publicitaria, realizada por la Metro-Goldwyn-Mayer, de los Hermanos Marx en 1946

Volviendo a la solución del problema de los 17 caballos, por una parte, tenemos la cuestión de que 17 no se puede dividir entre 2, 3 y 9, pero además si la herencia se repartiese completamente la suma de las proporciones 1/2, 1/3 y 1/9 debería ser 1, pero resulta que no es así:

Es decir, la suma de las proporciones es menor que 1 y no se puede ejecutar toda la herencia. Por lo tanto, si nos vamos a una solución aritmética pura del problema, sin importarnos de qué estamos hablando, que es como muchas veces se resuelven los problemas matemáticos en la clase de esta signatura, tendríamos que la solución es 8,5 (17/2), 5,67 (en realidad, 17/3) y 1,89 (en realidad, 17/9) y se quedaría sin repartir el resto que es 0,94 (en realidad, 17 / 18), puesto que

Si entendemos que la solución al problema de los 17 caballos tiene que ser siguiendo al pie de la letra las indicaciones de la herencia, que es como seguramente se entendía este problema matemático en sus orígenes, entonces tenemos dos opciones, o la solución puramente aritmética, como acabamos de describir, o pensar que es un problema imposible, en el sentido de que ni se puede dividir 17 entre 2, 3 y 9, ni la suma de esas partes, 17/2, 17/3 y 17/9 es toda la herencia, 17 caballos.

Según muchos textos, como el mencionado Famous Puzzles of Great Mathematicians, de Miodrag S. Petkovic o el texto The Penguin Dictionary of Curious and Interesting puzzles de David Wells, fue el matemático italiano Niccolo Fontana (1499 o 1500 – 1557), conocido como Tartaglia, quien sugirió la solución moderna de pedir prestado un caballo extra, así tener 18 caballos para repartir en tres partes de 9 (que es 18/2), 6 (que es 18/3) y 2 (que es 18/9) caballos, por lo que sobra 1, que se devuelve a la persona que lo había prestado.

Este problema, junto con su solución, se suele presentar como una leyenda árabe, que dice lo siguiente (siguiendo la versión recogida por el matemático David Singmaster, en su libro Aventuras en las Matemáticas Recreativas, un interesante libro sobre la historia de la matemática recreativa).

Un jeque árabe murió dejando un rebaño de camellos como herencia completa para repartir entre sus tres hijos. En su testamento, especificó que el hijo mayor recibiría la mitad de la herencia; el segundo hijo, un tercio de la misma; y el tercero, una novena parte. Los hijos fueron a examinar el rebaño y descubrieron que había 17 camellos. Ahora bien, diecisiete no es divisible por dos, ni por tres, ni por nueve, y los hijos quedaron perplejos. Los camellos son valiosos y no querían cortar uno en pedazos.

Después de discutirlo, decidieron consultar al mullah Nasruddin y enviaron a buscarlo. El mullah se acercó con su camello y escuchó el dilema de los hijos del jeque. Después de reflexionar un poco, dijo que les prestaría un camello. El rebaño contaba ahora con 18 camellos y el mullah asignó la mitad de los camellos al hijo mayor, es decir, nueve camellos; luego un tercio de los camellos al segundo hijo, es decir, seis camellos; luego un noveno de los camellos al tercer hijo, es decir, dos camellos. Entonces, quedó un camello, el que les había prestado el mullah, así que este reclamó su camello y cabalgó hacia la puesta de sol.

17 caballos
Imagen del problema de los 17 caballos, con el título Un legado inmanejable, perteneciente al libro Brandreth Puzzle Book (1896), que era a la vez un panfleto publicitario de las Pastillas de Brandreth y una colección de rompecabezas

En general, podemos plantearnos el reparto de una cierta cantidad n de caballos en tres proporciones 1/a, 1/b y 1/c, donde a, b, c son números naturales distintos, tales que necesitemos el préstamo de un caballo para realizar el reparto, es decir, que se verifique la ecuación

Por lo tanto, para construir todos los problemas de este tipo debemos de resolver la anterior ecuación diofántica (recordemos que las ecuaciones diofánticas son ecuaciones polinómicas de dos o más variables para las que se estudian las soluciones con números enteros, es decir, los naturales, el cero y los negativos). Existen siete soluciones (n; a, b, c) posibles, que mostramos a continuación:

(7; 2, 4, 8), (11; 2, 4, 6), (11; 2, 3, 12), (17; 2, 3, 9), (19; 2, 4, 5), (23; 2, 3, 8) y (41; 2, 3, 7),

con las cuales se pueden plantear problemas similares al problema de los 17 caballos, como así ha ocurrido con alguna de estas soluciones. Por ejemplo, Philip E. Bath en el problema El jardín del vicario de su libro Fun with Figures (Diversión con números) plantea el reparto de 7 chelines en las proporciones 1/2, 1/4 y 1/8; o S. E. Clark en el problema Los herederos y las ovejas de su libro Mental Nuts (Locuras mentales), que podéis encontrar en Internet Archive, plantea dividir una herencia de 19 ovejas en las proporciones 1/2, 1/4 y 1/5.

Si se permite que los números a, b y c no necesariamente son distintos, entonces se pueden obtener más soluciones, como (5; 2, 6, 6), (5; 3, 3, 6), (9; 2, 5, 5), (11; 3, 3, 4) o (3; 4, 4, 4).

Portadas de los volúmenes 1 y 2 de Adventures in Recreational Mathematics, de David Singmaster

El matemático David Singmaster, en su libro Aventuras en las Matemáticas Recreativas, nos cuenta que este tipo de problemas son una versión moderna de algunos problemas antiguos de reparto donde las proporciones no sumaban uno. Problemas de este tipo son muy antiguos, ya aparecían en el Papiro de Rhind (escrito por el escriba Ahmes en el siglo XVI a.n.e.), que es el documento matemático más importante conservado del Antiguo Egipto.

Fragmento del Papiro matemático de Rhind, o de Ahmes, perteneciente a la sección EA10057, British Museum

Terminemos esta entrada con el problema 63 del Papiro de Rhind que consiste en repartir 700 barras de pan para cuatro personas, en las proporciones 2/3 : 1/2 : 1/3 : 1/4, pero el total de las partes suma 7/4, que es mayor que 1.

La solución al problema que se ofrece en el texto matemático egipcio es que, si 700 barras se corresponden con 7/4, entonces, la unidad es 4/7 de 700, es decir, 400 y se realiza el reparto de 2/3, 1/2, 1/3 y 1/4 de la unidad, es decir, que la cantidad de panes se reparte en 266,7 (2/3 de 400) barras de pan –o podríamos decir que 266 barras enteras y dos terceras partes de una barra-, 200 (1/2 de 400) barras, 133,3 (1/3 de 400) barras –podríamos decir que 133 barras de pan y una tercera parte de una- y 100 (1/4 de 400) barras.

Bibliografía:

1.- Miodrag S. Petrovic, Famous Puzzles of Great Mathematicians, AMS, 2009.

2.- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting puzzles, Penguin, 1992.

3.- Martin Gardner, Fractal Music, Hypercards and more, W. H. Freeman & Co, 1991.

4.- David Singmaster, Adventures in Recreational Mathematics (Problem Solving in Mathematics and Beyond, 21), vol. 1 y 2, World Scientific, 2021.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

7 comentarios

  • Avatar de A.F.G.

    En este, y en el problema de los tres amigos y el euro desaparecido, las reglas de la primera parte del relato y las de la segunda son perfectamente válidas, pero no son las mismas.

  • Avatar de Fernando Hamilton

    Muy entretenido. Y obviamente una buena entrada para acercarse a la matemática.
    Debo decir que la matemática me gusta, el resultado es ciertamente divertido.
    Pero estrictamente hablando, es un artilugio.
    El problema (tal cómo está planteado) es estrictamente irresoluble.
    La solución se encuentra usando una estratagema que sencillamente anula el enunciado.
    Veamos.
    En una situación estrictamente como la planteada, un muerto no pide préstamos, su herencia se conforma al momento de morir y no se puede modificar.
    Son 17 caballos, ni uno más, ni uno menos.
    Para ser más claro, una vez hecho el artilugio de conseguir un 18° caballo y repartir ese nuevo rebaño en (1/2; 1/3 y 1/9), se van cada uno con 9, 6 y 2 caballos el prestado lo lleva su auténtico dueño.
    Hasta ahí es hasta «justo» el resultado. Pero no cumple el enunciado.
    Ninguno tiene 1/2; 1/3 ni 1/9 de la HERENCIA.
    Si se llaman Juan, Pedro y Pablo, en ese orden, la mitad de la herencia sería para Juan. Que se llevó 9 caballos. La otra mitad se reparte entre Pedro y Pablo. Pero resulta que Pedro y Pablo suman 8 caballos. Se violó completamente la voluntad de su padre. Ergo el enunciado no se cumple. Esa no es la solución. No existe solución, en los términos planteados, a excepción de la estrictamente aritmética.

  • Avatar de Jose Antonio Coque

    Yo creo que se está entendiendo mal el problema. El reparto es en las proporciones de 1/2 a 1/3 a 1/9 lo que quiere decir que por cada medio caballo que tiene el primero el segundo tiene un tercio de caballo y el último un noveno. No son más que proporciones y como tales si las multiplicó o divido por un mismo número la proporción no varía. Multipliquen por 9 todo.
    4,5 a 3 a 1 es la misma proporción.
    Si el primero tiene 4,5 caballos el segundo tendrá 3 y el último 1.
    Si multiplicó por 2
    9 a 6 a 2 que curiosamente suma 17. Y mantiene las proporciones.
    Por cada medio caballo del primero ( 18 medios =9) el segundo tiene un tercio ( 18 tercios = 6) y el tercero tiene un noveno (18 novenos =2).
    Así es como yo lo veo.

    • Avatar de Jose Antonio Coque

      Específico
      1/2 : 1/3 : 1/9 no quiere decir que el primero recibe la mitad de los caballos, que el segundo recibe un tercio de los caballos y que el último recibe un noveno de los caballos.
      Quiere decir que por cada medio caballo que recibe el primero el segundo tiene un tercio de caballo y el último un noveno de caballo. Y lógicamente esos números no tienen que sumar 1.
      Pensemos en un reparto 2 a 1 quiere decir que el primero recibe el doble del segundo y desde luego 2+1 son 3 y no tienen por qué ser 1.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.