Los triángulos áureos, geometría y arte (II)

Con esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica se cierra la miniserie titulada Los triángulos áureos, geometría y arte sobre algunos triángulos susceptibles de ser denominados triángulos áureos, ya que la proporción de dos de sus lados es igual al número de oro. En la primera entrada de la serie, Los triángulos áureos, geometría y arte (I), se analizaban los dos triángulos rectángulos áureos (el cartabón áureo y el triángulo de Kepler), mientras que en la presente entrada se analizarán los dos triángulos isósceles áureos, el llamado simplemente triángulo áureo y el gnomon áureo.

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo tal que la hipotenusa y uno de los catetos están en proporción áurea, así si uno de los catetos mide 1, entonces la hipotenusa mide ϕ (Phi), mientras que el cartabón áureo es un triángulo rectángulo en el que los catetos están en proporción áurea, luego si uno de los catetos mide 1, el otro mide ϕ (Phi), y juntando dos cartabones áureos del mismo tamaño, por la hipotenusa, se forma un rectángulo áureo.

Triángulos isósceles áureos

En la gran obra de la matemática griega y universal Los Elementos del matemático griego Euclides (aprox. 325-265 a.n.e.), se define el concepto de extrema y media razón, que es como se denominó inicialmente a la razón áurea o divina proporción, de la siguiente manera:

Se dice que un segmento de recta está dividido en extrema y media razón cuando la longitud del segmento total es a la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor.

Además, en Los Elementos también se demostró que para cualquier segmento siempre existe el punto que divide al segmento en dos partes, de longitudes a y b, de forma que la proporción o razón entre la parte mayor y la menor, a / b es igual a la proporción entre la longitud del segmento y la parte mayor (a + b) / a.

Se denomina razón áurea, divina proporción o número de oro al cociente a/b, al que llamamos ϕ (Phi) y cuyo valor es

También se demuestra en Los Elementos la presencia de la extrema y media razón en algunas figuras geométricas como el pentágono, la pentalfa, el decágono o el dodecaedro. Esto se debe a que todas ellas contienen triángulos isósceles en los que los ángulos de la base duplican al ángulo opuesto, es decir, ángulos de 36, 72 y 72 grados. En la demostración de la existencia de tales triángulos (Proposición 10 del Libro IV, de Los Elementos), Euclides prueba que los lados de este triángulo isósceles están en extrema y media razón, por este motivo se le denomina “triángulo áureo”.

Por lo tanto, el triángulo áureo es el triángulo isósceles de ángulos de 36, 72 y 72 grados, como el que aparece en la imagen, para el cual se cumple que la proporción entre el lado que se repite y el lado desigual es el número áureo.

Dentro del propio triángulo áureo se puede construir otro triángulo isósceles áureo con los lados iguales que sean como el lado desigual del triángulo grande, mientras que el lado desigual es uno de los lados iguales del triángulo grande, como se muestra en la siguiente imagen, que determina la división del lado mayor del triángulo en extrema y media razón. Más aún, en el interior se crea un nuevo triángulo isósceles, que resulta ser áureo también, aunque ahora la proporción áurea es entre el lado desigual y cualquiera de los lados iguales. Los ángulos de este nuevo triángulo isósceles son 36, 36 y 180 – 36 = 108 grados.

Por lo tanto, hemos introducido un nuevo triángulo isósceles cuya proporción entre sus lados es áurea, entre el lado desigual y cualquiera de los iguales, que se denomina gnomon áureo, que mostramos separado en la siguiente imagen. Volviendo a mirar a la anterior descomposición, un triángulo (isósceles) áureo se descompone en un pequeño triángulo áureo (con la misma forma que el triángulo áureo inicial, pero más pequeño) y un gnomon áureo.

La artista abstracta alemana, afincada en Nueva York, Cornelia Thomsen (1970) tiene una serie de obras relacionadas con la sección áurea. Algunas de las obras de esta serie están dedicadas al triángulo áureo, como esta aguatinta de la Serie doble triángulo áureo (2025), en la que los dos triángulos isósceles blancos de la parte superior y losd dos triángulos isósceles rojos de la parte inferior son áureos.

Una espiral áurea

En la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada ¿Es áureo el Aston Martin de James Bond? se explicaba la forma de construir la espiral áurea, también llamada espiral de Durero, a partir de la descomposición de un rectángulo áureo (la razón entre sus lados es el número de oro) en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo, que a su vez se puede descomponer en cuadrado y rectángulo áureo, y así hasta el infinito.

Es decir, la espiral áurea es una espiral formada por la unión de arcos de circunferencia de diferentes radios, en concreto, sus radios son iguales a las longitudes de los lados de los cuadrados de las sucesivas descomposiciones. Aunque se suele confundir con la espiral logarítmica, que es la espiral de crecimiento que observamos en la cocha del Nautilus o el vuelo de un halcón, no son la misma curva.

El artista surrealista catalán Salvador Dalí (1904-1989) hizo uso de la espiral áurea y la descomposición del rectángulo áureo en cuadrado y rectángulo áureo que la genera para estructurar la pintura Taza gigante volando, con apéndice incomprensible de cinco metros de largo (1944), como se muestra en la siguiente imagen en la que se ha colocado el anterior esquema encima de la pieza de Dalí.

Como se comentaba más arriba, un triángulo áureo se puede descomponer en un gnomon áureo y un triángulo áureo más pequeño, el cual se puede volver a descomponer en un gnomon áureo y un triángulo áureo más pequeño aún, y así hasta el infinito. A partir de esta descomposición se puede trazar otra espiral, de tipo áureo, también como unión de arcos de circunferencia. Como se observa en la siguiente imagen, cada arco de circunferencia está centrado en el vértice del correspondiente gnomon áureo, que está en la unión de los dos lados iguales del gnomon, y que pasa por los dos vértices contrarios.

La artista concreta alemana Irene Schramm-Biermann (1950) cuyo arte está muy ligado a las matemáticas (en el libro Las matemáticas como herramienta de creación artística –Catarata, 2023- se mencionan algunas obras de esta artista relacionadas con el teorema de Pitágoras) tiene varias obras relacionadas con la razón áurea. En una de esas obras, titulada Triángulo áureo (2018), representa la descomposición infinita del triángulo (isósceles) áureo.

El pentágono regular y otras figuras geométricas

Volviendo a las figuras geométricas que se mencionan en Los Elementos de Euclides, el decágono (regular) está relacionado con la extrema y media razón ya que está compuesto por la unión de diez triángulos áureos, como se muestra en la siguiente imagen.

Por otra parte, dado un pentágono y la pentalfa, o pentagrama, inscrita en el mismo, como en la siguiente imagen, se observan triángulos áureos de distintos tamaños (pequeños, medianos y grandes), lo que da lugar a una cierta cantidad de proporciones áureas entre distintos segmentos del pentágono.

Por ejemplo, entre las relaciones áureas que aparecen están que las diagonales y los lados del pentágono están en proporción áurea y que cada diagonal está dividida en extrema y media razón por otra diagonal que la corta, incluso la parte mayor de la diagonal se vuelve a dividir en extrema y media razón por el corte de una segunda diagonal.

Obviamente, también se obtienen gnomos áureos en el esquema del pentágono y el pentagrama, cinco grandes que tienen a dos lados del pentágono como lados iguales y cinco pequeños que tienen a los lados del pentágono como lados desiguales.

El pentágono y la pentalfa son utilizados por muchos artistas interesados por la razón áurea para el proceso compositivo de sus obras de arte. Un ejemplo es el cuadro Leda Atómica (1949), del artista surrealista Salvador Dalí, quien se reunió con el militar, ingeniero eléctrico, “matemático”, diplomático y príncipe rumano Matila C. Ghyka (1881-1965), autor de los libros Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las artes (1927) y El Número de oro: Ritos y Ritmos Pitagóricos en el Desarrollo de la civilización Occidental (1931), para utilizar la razón áurea en la composición de la obra. En varios bocetos preparatorios de la obra, por ejemplo, el que aparece en la siguiente imagen, se puede observar que la composición de la obra se basa en la razón áurea, el pentágono y la pentalfa.

Puesto que las caras del dodecaedro (regular) son pentagonales, este sólido platónico (sobre los sólidos platónicos puede leerse la entrada Los sólidos platónicos) también está conectado con la razón áurea. Si incluimos los dodecaedros estrellados, cuyas caras son pentágonos regulares o pentagramas, existen relaciones áureas en los cuatro dodecaedros regulares, que se muestran en la imagen.

Respecto al icosaedro, posee una singular propiedad. Sus doce vértices pueden agruparse en tres grupos de cuatro vértices, que son los de tres rectángulos interiores, “ortogonales dos a dos”, tal que la relación entre su alto y su ancho es el número de oro, es decir, son rectángulos áureos.

Despedida y cierre

El triángulo áureo y el gnomon áureo están relacionados con las teselaciones de Penrose, que son teselaciones aperiódicas, que cubre el plano, pero sin patrón alguno que se repita, aunque de eso ya hablaremos en otra entrada del Cuaderno de Cultura Científica.

La teselación de Penrose más famosa se genera con dos baldosas, la “cometa” y el “dardo”, que se obtienen juntando dos triángulos áureos o dos gnomos áureos por los lados que se repiten, como se muestra en la imagen.

En la siguiente imagen puede verse un tozo de teselación de Penrose con cometas y dardos.

Con triángulos áureos y gnomos áureos podemos construir también dos tipos de rombo que permiten teselaciones de Penrose, pero ya volveremos con el tema de las teselaciones aperiódicas en otra ocasión.

Bibliografía

1.- Mario Livio, La proporción áurea, La historia de phi, el número más sorprendente del mundo, Ariel, 2006.

2.- Fernando Corbalán, La proporción áurea, El lenguaje matemático de la belleza, RBA, 2010.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica