El arte de los recorridos del caballo en el tablero de ajedrez
Estos días estoy preparando la conferencia “Juegos, matemáticas y arte contemporáneo, una alianza creativa” para las XII JAEM (Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas), organizadas por la FESPM – Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, que tendrán lugar entre los días 1 y 4 de julio (de 2026) en Jaén. Justo antes de escribir estas palabras he estado preparando la parte dedicada al problema del recorrido del caballo en el tablero de ajedrez. Este es un problema muy interesante y con mucha historia, al que ya hemos dedicado unas cuantas entradas en el Cuaderno de Cultura Científica.
Para empezar, un par de entradas cuyo objetivo era explicar el juego y su historia. En la primera, titulada El problema del recorrido del caballo en el tablero de ajedrez, se explica en qué consiste el problema, cuál es su origen, algunas matemáticas asociadas al mismo (la teoría de grafos), su extensión a tableros de diferentes tamaños y la cuestión de la existencia de soluciones, mientras que, en la segunda, con el título El problema del recorrido del caballo en el tablero de ajedrez (II), se aborda la cuestión de cómo construir soluciones al problema, explicando algunos métodos (algoritmos), tanto clásicos, como el método de los matemáticos De Moivre y De Montmort, o el método de Euler, como modernos, como la técnica de H. C. von Warnsdorff o la construcción de Roget. En una tercera entrada, titulada El recorrido del caballo de Vandermonde, se explica obviamente el método de Vandermonde para construir un recorrido cerrado del caballo. Y finalmente, la entrada titulada ¿Existen recorridos mágicos del caballo en el tablero de ajedrez? está dedicada a la interesante cuestión de si mediante el rompecabezas del recorrido del caballo pueden construirse cuadrados mágicos (o semi-mágicos).
Cuando esta mañana me he planteado sobre qué escribir en esta nueva entrada para el Cuaderno de Cultura Científica, me ha parecido interesante dar continuidad a esta serie de entradas con una pieza dedicada a artistas que han hecho uso del rompecabezas del recorrido del caballo para algunas de sus creaciones artísticas.
El problema del recorrido del caballo de ajedrez
Empecemos recordando este problema clásico situado entre el ajedrez y las matemáticas.
Problema del recorrido del caballo: Buscar un recorrido de la figura del caballo (con su movimiento característico en forma de L, dos casillas hacia delante y una a un lado) sobre el tablero de ajedrez (considerado este en un sentido general, es decir, tableros de diferentes formas y tamaños, principalmente cuadrados y rectangulares) que consista en mover esta pieza del juego, desde una casilla inicial, de forma sucesiva a través de todas las casillas del tablero, pasando una sola vez por cada una de ellas, y terminando en la casilla inicial (recorrido cerrado) o en otra casilla distinta (recorrido abierto).
En la anterior imagen se muestran dos soluciones de este juego, una con un recorrido abierto y otra con un recorrido cerrado, obtenidas ambas mediante la técnica de construcción de los matemáticos De Moivre y De Montmort.
Como se explica en el libro Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos (RBA, 2015), este es un problema antiguo. Probablemente, su origen se remonte al mismo origen del juego del ajedrez, alrededor del siglo VI en la India. Harold Murray, en su libro Historia del ajedrez, cita los manuscritos homónimos titulados Libro del ajedrez (Kitab ash-Shatranj) de los grandes ajedrecistas árabes Al-Adli (hacia el 840) y Al-Suli (hacia el 910), como los primeros en los que se presentan recorridos cerrados del caballo en el tablero clásico 8 x 8 (véase la siguiente imagen).
Por otra parte, el poeta de Cachemira Rudrata, en su obra poética Kavyalankara (hacia el 900), utiliza un recorrido abierto del caballo en un tablero 4 x 8 (que se puede extender a un recorrido abierto sobre un tablero de ajedrez) como una estructura para un poema. El poema, en sanscrito, se compone de cuatro líneas de 8 sílabas, que puede leerse de izquierda a derecha o siguiendo el recorrido del caballo (véase la siguiente imagen).
Estos son los primeros documentos conocidos en los que se recogen recorridos abiertos y cerrados del caballo sobre el tablero de ajedrez, aunque es posible que este problema se estudiase desde mucho tiempo antes.
Uno de los grandes de la abstracción geométrica
Vamos a empezar esta pequeña muestra de artistas que utilizan el problema del recorrido del caballo en algunas de sus creaciones artísticas con uno de mis artistas preferidos, el artista francés Francois Morellet (1926-2016).
Francois Morellet es un artista autodidacta que realizó un desarrollo muy personal de la abstracción geométrica en sus pinturas, esculturas e instalaciones. Su arte estuvo relacionado con movimientos artísticos como el minimalismo y el arte conceptual, y fue uno de los miembros fundadores, en la década de 1960, del movimiento GRAV (Grupo de Investigación de Arte Visual), junto al español Francisco Sobrino (1932-2014), el argentino Julio Le-Parc (1928) o la húngaro-francesa Vera Molnar (1924-2023). Morellet utilizó las matemáticas (geometría, números, combinatoria, azar, etcétera) como herramienta de creación artística.
En 2002, Morellet, a la edad de 76 años, realizó el díptico Caballero no. 1, en uno de los lienzos la retícula cuadrada 8 x 8 con la serie de números que describe un recorrido del caballo cerrado, mientras que en el otro lado puede apreciarse el diagrama asociado que describe el recorrido.
Morellet se relacionó con el grupo literario OULIPO (Ouvroirde Littérature Potentielle, Obrador de Literatura Potencial), creado en 1960 por Francois Le Lionnais (1901-1984), ingeniero y matemático francés apasionado por la literatura, y por el escritor francés Raymond Queneau (1903-1976), que era a su vez un apasionado de las matemáticas (véase la entrada Poesía métrica, ¿de metro?). Al igual que las personas de este grupo utilizaban constricciones, muchas de ellas matemáticas, en sus procesos de creación literaria (sobre algunos ejemplos del uso de estas restricciones matemáticas en la creación literaria puede leerse el libro Matemáticas y Literatura (Marta Macho, Catarata, 2021) o algunas entradas como Los números de Queneau, Las matemáticas de ‘La vida instrucciones de uso’, La traba de Pascal: geometría proyectiva y literatura, Poesía retorcida sobre banda de Möbius o Raíz de 2 no es racional: 65 ejercicios de estilo), Morellet las utilizó también para crear sus propias obras de arte.
De hecho, Morellet es uno de los personajes de la novela La vida instrucciones de uso (1978), del escritor oulipiano francés George Perec (1936-1982). Morellet aparece en el capítulo VII que empieza así: “Morellet tenía una habitación debajo del tejado en el octavo. Aún se veía en su puerta el número 17 pintado en verde”. Una de las características de esta novela es que utiliza tres trabas matemáticas, un cuadrado greco-latino (puede leerse más sobre ellos en la entrada Los cuadrados greco-latinos de Leonhard Euler), una pseudo-quenina de orden 10 (generalización de las sextinas) y, esto es lo que más nos interesa en esta entrada, una solución al problema del recorrido del caballo sobre un tablero de tamaño 10 x 10 (todo ello puede verse en la mencionada entrada Las matemáticas de ‘La vida instrucciones de uso’).
Un artista matemático
Nuestro segundo artista es el matemático, ingeniero informático, ajedrecista y artista digital estadounidense Ronald R. Brown. En el artículo The Use of The Knight’s Tour to Create Abstract Art (El uso del problema del recorrido del caballo para crear arte abstracto), publicado en la revista Leonardo (vol. 25, no. 1, pp. 55-58, 1992), Ron Brown explica cuál es su proceso creativo con relación al problema del recorrido del caballo. Veamos un par de ejemplos.
Para empezar en las dos obras de arte que vamos a mostrar su autor, Ron Brown, utiliza un recorrido del caballo del jugador y teórico del ajedrez ruso-finlandés Carl Ferdinand Jaenisch (1813–1872), que aparecía en el artículo De la solution la plus parfaite du problème du cavalier (Sobre la solución más perfecta del problema del caballo), publicado en 1859 en la revista de ajedrez The Chess Monthly. Este recorrido, que vemos en la siguiente imagen, genera un cuadrado semi-mágico, es decir, la suma de los números de cada fila y de cada columna es la misma, en concreto, 260. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las diagonales principales, motivo por el cual no es un cuadrado mágico (de hecho, no existen recorridos del caballo mágicos para el tablero 8×8). La suma de las diagonales no es 260, sino 328 y 192, aunque sí tienen relación con el 260 de la siguiente manera, si sumamos ambas cantidades 328 + 192 = 520, el resultado es el doble de 260.
La primera pieza de Ron Brown relacionada con este rompecabezas que vamos a comentar es la que se muestra en la siguiente imagen, cuyo título es Monolitos rotados (1988). Esta obra se construye tomando como herramienta creativa el recorrido semi-mágico de Jaenisch. En la base cuadrada de la obra se considera, aunque no se muestra, la retícula 8 x 8 solución del problema y en cada una de las 64 casillas de esa retícula invisible se ha colocado un listón de madera (perpendicular a la base), que se ha girado y elevado en función de su posición en el tablero. Dado que hay 64 posiciones en un círculo, he girado cada listón 360/64º (55/8º) más que el listón anterior, así mismo cada listón tiene una altura proporcional al número de la casilla correspondiente, es decir, tiene una altura que mayor que la altura del anterior listón en 1/64 de altura mayor (sobre 20 centímetros).
La siguiente obra, que se muestra en la imagen de abajo, es Cuadrados aleatorios (2011). De nuevo, la base creativa de esta obra digital es el recorrido semi-mágico de Jaenisch. En casa casilla se representan, de forma aleatoria, tantos cuadrados (existen 64 tamaños posibles diferentes para cada casilla) como indica el número de la casilla en el recorrido del caballo. El fondo de la casilla es negro y los cuadrados están trazados en una escala de grises en esta obra (en la obra Cuadrados de colores aleatorios (2011) los cuadrados tienen además color). Por ejemplo, en la casilla que está en la quinta fila y cuarta columna, hay un solo cuadrado porque es la casilla del 1 (cuyo tamaño ha sido elegido de forma aleatoria) o en la casilla de la séptima fila y tercera columna, correspondiente al 2 hay dos cuadrados, mientras que en la casilla de la tercera fila y tercera columna estarían todos los tamaños de cuadrados, los 64, ya que esa es la casilla del número 64.
Un joven artista seducido por las matemáticas
Vamos a terminar este paseo entre el arte, las matemáticas y los rompecabezas con el joven artista indio Arvind Sundar (1993), que estudió en la Escuela de Arte de la Universidad de Cincinnati (Ohio, EE.UU.). Como puede leerse en su página web:
Arvind Sundar es un artista contemporáneo cuya obra explora la geometría, las matemáticas y la cosmología como sistemas intuitivos para reflexionar sobre el infinito, el orden y la incertidumbre. A través del dibujo, la pintura, la escultura y la instalación, traduce estructuras abstractas —como cuadrículas, proporciones, secuencias y lógicas de juego— en formas visuales meditativas.
Entre las muchas obras relacionadas con el recorrido del caballo en el tablero de ajedrez, vamos a destacar cuatro realizadas con diferentes técnicas. La primera pieza es Recorrido del caballo (2025), realizada con acero lacado en polvo y cuyo tamaño es 45,7 x 45,7 cm, que como su nombre indica es uno de los recorridos del caballo sobre el tablero de ajedrez 8×8, un recorrido cerrado que es simétrico, con una simetría rotacional de 180 grados (alrededor del centro).
La siguiente obra es un conjunto de 64 dibujos (tinta sobre papel), es decir, tantos como casillas hay en el tablero de ajedrez, que representan 64 recorridos abiertos del caballo. El título de la obra es Kolams del caballo (2025) y hace referencia al kolam, una forma de arte decorativo tradicional de la India que se dibuja con harina de arroz, u otros materiales, en el suelo u otra superficie plana, según técnicas que se han utilizado desde la antigüedad, puesto que los diagramas del recorrido del caballo trazados en blanco sobre fondo negro pueden recordar un poco a esos diseños tradicionales.
La siguiente obra, Recorrido del caballo -1296 no. 2 (2025), sigue la línea de la anterior. Utilizando tinta sobre lienzo, su autor representa un recorrido del caballo sobre un tablero de tamaño 36 x 36, es decir, con 1296 casillas, luego posiciones diferentes en el recorrido del caballo.
Y terminamos con una escultura, Batalla de caballos (2025), realizada en acero recubierto de circonio sobre base de madera, representa dos recorridos del caballo cerrados y simétricos, colocados en planos perpendiculares. En la base de madera pueden observarse recorridos sobre tableros rectangulares de tamaño 3 x n.
Bibliografía
1.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, El mundo es matemático, RBA, 2015.
2.- R. Ibáñez, Las matemáticas como herramienta de creación artística, Libros de la Catarata – FESPM, 2023.
3.- M. Macho, Matemáticas y Literatura, Libros de la Catarata – FESPM, 2021.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica