Más allá del hermoso, sugerente y conocido teorema de Pitágoras (véanse, por ejemplo, las entradas Pitágoras sin Palabras, Cultura pitagórica: arte o El teorema de Pitágoras en el arte), la geometría plana está repleta de interesantes y atractivos teoremas, que suelen venir acompañados de diagramas con mucho encanto.

En el Cuaderno de Cultura Científica ya hemos hablado de algunos de esos bonitos resultados de la geometría plana, como el teorema de Napoleón, que además ha inspirado a la artista minimalista vasca Esther Ferrer en su obra artística, como puede leerse en la entrada Variaciones artísticas del teorema de Napoleón. Este resultado geométrico dice lo siguiente.

Teorema de Napoleón: Si sobre los tres lados de un triángulo cualquiera ABC se construyen tres triángulos equiláteros exteriores (respectivamente, interiores), los centros de estos tres triángulos equiláteros forman un nuevo triángulo XYZ, que es equilátero, al que se denomina triángulo exterior (respectivamente, interior) de Napoleón.

En esta entrada vamos a hablar de otro de esos resultados geométricos, aunque menos conocido que los dos anteriores, el teorema de van Aubel. Este resultado fue publicado por el matemático holandés Henricus (Henri) Hubertus van Aubel (1830-1906) en el artículo de 1878, Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque (algo así como Nota sobre los centros de los cuadrados construidos en los lados de cualquier polígono). El teorema dice lo siguiente.

Teorema de van Aubel: Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se construye un cuadrado sobre cada uno de los lados del mismo, AB, BC, CD y DA, y se consideran sus centros, P, Q, R y S, respectivamente. Entonces, los segmentos PR y SQ (salvo que P coincida con R, o S con Q) son perpendiculares y de la misma longitud.

Cuando se presenta el teorema de van Aubel se suele dibujar un cuadrilátero convexo como el anterior, pero el resultado sigue siendo válido, aunque el cuadrilátero no sea convexo, como en la siguiente imagen. Recordemos que un polígono convexo es un polígono cuyos ángulos interiores miden menos de 180º, es decir, no hay zonas que externas metidas hacia dentro. En general, en matemáticas, se dice que un conjunto es convexo, si dados dos puntos cualesquiera del conjunto se verifica que los puntos del segmento que une esos dos puntos está también dentro del conjunto.

Más aún, el resultado sigue siendo válido, aunque uno de los lados del cuadrilátero tenga longitud cero (es decir, tendríamos un triángulo), en cuyo caso el centro del correspondiente cuadrado sería el vértice. Por ejemplo, si el segmento AB es de longitud cero, es decir, los vértices A y B son el mismo, entonces el centro P del que sería el cuadrado de lado AB es el vértice A (esto es, A = B = P).

En esta entrada no vamos a explicar la demostración de este resultado. Sin embargo, podéis encontrar una demostración geométrica del mismo en la magnífica página de Alexander Bogomolny, Cut the Knot, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, en la entrada dedicada al teorema de van Aubel: Van Aubel’s Theorem for Quadrilaterals And Generalization. También en el artículo The Beautiful Geometric Theorem of van Aubel, del matemático japonés Yutaka Nishiyama, pueden leerse dos demostraciones, una utilizando números complejos y otra geométrica.

Existen varias generalizaciones del teorema de van Aubel, algunas de las cuales las vamos a mostrar en esta entrada.

Para empezar, si se consideran rectángulos semejantes en los lados del cuadrilátero, en lugar de cuadrados, el ángulo entre los dos segmentos sigue siendo recto (como el ángulo entre los lados del rectángulo), pero ahora los segmentos, que no tienen la misma longitud, sí tienen la misma proporción que los lados del rectángulo.

Además, recordemos que dos rectángulos –en general, cualesquiera figuras geométricas- son semejantes si tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño u orientación. Dada una figura geométrica se obtiene otra similar si se amplía o reduce la figura, se gira o se da la vuelta. En el caso particular de los rectángulos, la proporción entre los lados, ancho y largo, es la misma en los dos rectángulos semejantes.

La generalización del teorema de van Aubel para rectángulos semejantes es la siguiente.

Teorema de van Aubel con rectángulos semejantes: Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se construye un rectángulo (como aparece en la siguiente imagen) sobre cada uno de los lados del mismo, AB, BC, CD y DA, de forma que los cuatro sean semejantes, y se consideran sus centros, P, Q, R y S, respectivamente. Entonces, los segmentos PR y SQ son perpendiculares y la proporción entre los mismos es igual a la proporción entre los lados distintos (ancho y alto) del rectángulo.

Además, si J, K, L y M son los puntos medio de los segmentos que unen los vértices contiguos de los rectángulos (como se muestra en la siguiente imagen), entonces los segmentos JL y KM tienen la misma longitud y el ángulo entre los segmentos JL y KM es igual al ángulo entre las diagonales de los rectángulos.

Más aún, el resultado sigue siendo válido para rombos o, en general, paralelogramos semejantes construidos en cada uno de los lados del cuadrilátero. El resultado, que se ilustra en el siguiente diagrama, es esencialmente el mismo que el anterior, pero con algunas generalizaciones. Así, ahora los segmentos PR y SQ no se cruzan en el mismo punto que los segmentos JL y KM; y el ángulo entre los segmentos PR y SQ, ya no es recto, pero sigue siendo el mismo que el ángulo de los paralelogramos de la construcción.

Existen también otras generalizaciones de este resultado de la geometría plana, como la siguiente que podemos leer en la página de Alexander Bogomolny, Cut the Knot, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, en la que se construyen triángulos rectángulos sobre cada lado del cuadrilátero.

Teorema de van Aubel con triángulos rectángulos: Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se construye un triángulo rectángulo APB sobre el lado AB con el ángulo recto en P y de forma similar para los demás lados, se construyen los triángulos rectángulos BQC,CRD y DSA, tal que los ángulos de los triángulos que comparten el mismo vértice del cuadrilátero son iguales (por ejemplo, en el vértice A, los ángulos ∠PAB y ∠SAD son iguales). Entonces las longitudes de los segmentos PR y QS son iguales, y el ángulo entre los segmentos PR y QS es dos veces el ángulo ∠PAB.

Aunque existen más resultados relacionados con el teorema de van Aubel, no vamos a entrar en ellos en esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, sino que para terminar vamos a incluir dos sencillas ilustraciones que podríamos relacionar con el arte concreto.

Bibliografía

1.- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin Books, 1991.

2.- H. H. van Aubel, Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque, Nouvelle Correspondance Mathématique, 4, pp. 40–44, (1878).

3.- Wolfram Mathworld: van Aubel’s Theorem

4.- Alexander Bogomolny, Cut the Knot, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles: Van Aubel’s Theorem for Quadrilaterals And Generalization

5.- Yutaka Nishiyama, The Beautiful Geometric Theorem of van Aubel, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 66, No. 1, pp. 71-80, 2011.

6.- Michael de Villiers, Van Aubel’s Theorem and some Generalizations

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica