Como sabemos, armado solo con sus dos postulados, Bohr podía calcular el radio de cada órbita permitida. No solo eso, además podía calcular la energía total del electrón en cada órbita, es decir, la energía del estado estacionario. Los resultados que obtuvo Bohr pueden resumirse en dos expresiones muy simples.

Recordemos que el radio de una órbita con número cuántico n viene dado por la expresión r_n = a·n², aunque también podemos escribirlo como r_n = n²·r₁, donde r₁ es el radio de la primera órbita (la órbita para n = 1) y tiene el valor de 5,3·10^-11 m.

La energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial eléctrica) del electrón en la órbita con el número cuántico n también se puede calcular a partir de los postulados de Bohr. La energía asociada a la posición, la energía potencial, siempre nos va a depender de qué tomemos como referencia por lo que no tiene sentido asignar un valor absoluto a la energía potencial. En este caso, solo los cambios en la energía tienen un significado físico. Por tanto, se puede elegir cualquier nivel cero que nos resulte conveniente. Para un electrón en órbita en un campo eléctrico, las matemáticas son vuelven especialmente simples [1] si como nivel cero para la energía elegimos el estado n = ∞. En este nivel, el electrón estaría infinitamente lejos del núcleo (y, por lo tanto, libre de él) [2]. La energía para cualquier otro estado E_n es la diferencia con respecto a este estado libre.

Los posibles estados de energía para el átomo de hidrógeno serán por tanto, E_n = 1/n² ·E₁, donde E₁ es la energía total del átomo cuando el electrón está en la primera órbita (n =1). E₁ es la energía más baja posible para un electrón en un átomo de hidrógeno. Su valor es -13,6 eV [3] (el valor negativo significa solo que la energía es 13.6 eV menor que el valor de estado libre E_∞). Este es el llamado estado fundamental. En ese estado, el electrón es cuando más «unido» está al núcleo. El valor de E₂, el primer estado excitado por encima del estado fundamental, es, según la expresión anterior, E₂ = 1/2² ·(-13,6 eV) = -3,4 eV. Este estado solo tiene 3,4 eV menos que el estado libre.

Según la fórmula para r_n, la primera órbita estacionaria, definida por n = 1, tiene el radio más pequeño. Los valores más altos de n corresponden a órbitas que tienen radios más grandes. Las órbitas más altas están separadas más y más, y el campo de fuerza del núcleo cae aún más rápidamente. De aquí que el trabajo requerido para moverse a la siguiente órbita con n mayor se vuelva cada vez más pequeño. Se sigue además, que los saltos de energía de un nivel de energía permitida E al siguiente de n mayor se vuelvan cada vez más pequeños. Si estos saltos absorben luz, o la emiten en sentido contrario de los saltos, debería apreciarse en la longitud de onda de esa luz. Esta será la primera comprobación experimental del modelo.

Notas:

[1] Como siempre que se habla del uso de matemáticas en física, son especialmente, pero no estrictamente, simples. Aquí admitimos que 1/∞ = 0, pero te recomendamos que no uses esta igualdad a la ligera en tus asignaturas de matemáticas.

[2] Otra imagen irreal pero conveniente. El universo es finito, por lo tanto se puede estar muy lejos, pero un lejos finito. Por lo tanto al electrón le pasa como a Luke Skywalker, que por muy lejos que se vaya la fuerza le acompaña, por pequeña que ésta sea.

[3] El electrón-voltio es una unidad de medida muy conveniente porque nos permite manejar valores absolutos pequeños. Sobre él y su definición hablamos aquí.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance