Sin duda, una prueba de fuego para el modelo de Bohr tendría que ser explicar los espectros de los elementos, empezando por el del hidrógeno. Pero antes tenía que pasar una prueba cuantitativa básica: el tamaño del átomo derivado del modelo tenía que ser compatible con los datos ya conocidos.

De entrada estaban los órdenes de magnitud impuestos por los resultados de dispersión obtenidos por el laboratorio de Rutherford. De ellos se podían deducir algunas cosas interesantes. Para empezar, el tamaño aproximado del núcleo atómico. Supongamos que una partícula α se mueve directamente hacia un núcleo. Su energía cinética se transforma en energía eléctrica potencial: se ralentiza y finalmente se detiene, como una pelota rodando cuesta arriba. Lo más cerca que la partícula estará del núcleo puede calcularse a partir de la energía cinética original de la partícula y las cargas de la partícula y el núcleo. El valor calculado resulta ser de unos 3·10^-14 m.

Si la partícula no penetra en el núcleo, esta distancia debe ser, al menos, la suma de los radios de las partículas y el núcleo; de aquí, el radio del núcleo no podría ser mayor que aproximadamente 10^-14 m. Pero 10^-14 m es solo aproximadamente 1/1000 del radio que establece la teoría cinética para un átomo. Como el volumen total del átomo es proporcional al cubo de su radio, eso quiere decir que el átomo está mayormente vacío, con el núcleo ocupando solo una milmillonésima parte del espacio. Esto explica cómo las partículas o los electrones pueden penetrar miles de capas de átomos en láminas de metal o en gases, con solo una desviación grande ocasional de la trayectoria y muy pocos rebotes.

Con estas condiciones de contorno veamos la aplicación del modelo de Bohr al átomo más sencillo, el hidrógeno que, recordemos, tiene un solo electrón alrededor del núcleo. Bohr supuso que las posibles órbitas de los electrones son circulares por simplicidad. El resultado de Bohr para los radios de las posibles órbitas estables r_n fue r_n = a·n², donde a es una constante (a = h² / 4π²mkq_e²) [1] que se puede calcular a partir de valores físicos conocidos, y n representa cualquier número entero, n = 1, 2, 3… .

El resultado de Bohr es muy llamativo. En los átomos de hidrógeno los posibles radios orbitales de los electrones son múltiplos enteros de una constante que se puede calcular fácilmente; es decir, n² adquiere valores de 1², 2², 3²,. . . , y todos los factores a la izquierda de n² en r_n = a·n² son cantidades conocidas previa e independientemente.

El valor de a es aproximadamente de 5,3·10^-11 m. Por lo tanto, según el modelo de Bohr, los radios de las órbitas estables tenía que se n² veces 5,3·10^-11 m. Es decir, para n = 1, la primera órbita permitida el radio era, precisamente, 5,3·10^-11 m, 4 veces esta cantidad la segunda y 9 veces la tercera. Entre ellas, simple y llanamente, no podía estar el electrón.

En resumen, las distintas órbitas electrónicas están espaciadas alrededor del núcleo de manera regular, con los radios permitidos cuantificados de manera regular. Por lo tanto, la emisión y absorción de luz debe corresponder a la transición del electrón de una órbita permitida a otra. La emisión de luz ocurre cuando el electrón «cae» de un estado de energía más alto a un estado más bajo; la absorción de luz ocurre cuando el electrón «salta» desde un estado de baja energía hasta un estado de mayor energía. Un resultado muy bonito que indica qué radios son posibles y dónde se encuentran. Pero hasta ahora, todo esto es la construcción de un modelo. ¿Soporta la comparación con los datos conocidos?

En su primer artículo de 1913, Bohr pudo dar al menos un «sí» parcial como respuesta. Hacía tiempo que se sabía que el átomo de hidrógeno normal «no excitado» tenía un radio de aproximadamente 5·10^-11 m (es decir, el tamaño del átomo obtenido, por ejemplo, al interpretar las características medidas de los gases en términos de la teoría cinética) [2]. Este valor conocido de aproximadamente 5·10^-11 m se corresponde mejor que bien con la predicción de la ecuación para el radio orbital r si n tiene el valor más bajo, es decir 1. El modelo proporcionaba un mecanismo para entender el tamaño del átomo de hidrógeno neutro y no excitado. Para cada átomo, el tamaño corresponde al tamaño de la órbita electrónica más interna permitida.

Nota:

[1] Esta constante, llamada radio de Bohr, comparte el honor con la constante de Boltzman o la constante de Avogadro de haber sido descrita en realidad por otra persona (respectivamente, Haas, Planck y Cannizaro). Pero esto es otra historia…

[2] Este valor de 5·10^-11 m para un átomo de hidrógeno no es más que la mitad del 10^-10 m que proporcionaba la teoría cinética para la molécula de hidrógeno.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance