La relatividad del tiempo (2)

La dilatación del tiempo explica por qué en la Estación Espacial Internacional el tiempo va más lento, con un retraso de 0,007 segundos cada seis meses.

¿Cuánto más lento parece un reloj que se mueve respecto de un observador? La relación exacta entre el intervalo de tiempo transcurrido registrado por un reloj que está estacionario con respecto al observador (Mónica) y el intervalo de tiempo transcurrido para el mismo fenómeno medido por alguien que observa el reloj en movimiento a una velocidad constante v(Esteban), la relatividad del tiempo, viene dada por una ecuación muy sencilla,

Δte = Δtm /(1-v2/c2).

Lo que puede hacer que la ecuación para la dilatación del tiempo parezca complicada es el término en la raíz cuadrada, que es el que contiene gran parte de la física. Sin embargo, es muy simple. El símbolo c es la velocidad de la luz en el vacío, y v es la velocidad del reloj que se mueve en relación con el observador que mide el intervalo de tiempo transcurrido Δte. Para los objetos reales, no imaginarios, v es siempre menor que c. Por lo tanto, v/c es siempre menor que uno y, por consiguiente, también lo es v2/c2. Como v2/c2 se resta de 1, el resultado de esta resta siempre es un número positivo menor que 1. La raíz cuadrada de un número positivo menor que 1 es siempre un numero menor que uno [1]. De ahí que podamos afirmar que si Mónica se mueve, esto es, para una velocidad v no nula, Δte será mayor que Δtm. En otras palabras, el tiempo pasa más rápido para Esteban que está estacionario observando cómo Mónica se mueve a velocidad v, o, visto de otra manera, Esteban observa que el reloj en movimiento que acompaña a Mónica se mueve más lentamente. Obviamente, si v = 0 entonces Δte = Δtm, esto es, dos observadores en reposo uno respecto al otro miden el mismo paso del tiempo.

 

¿Qué sucede a velocidades muy altas?

Asumamos que la velocidad del reloj en movimiento (o cualquier proceso repetitivo) es extremadamente alta, digamos 260,000 km/s, relativa a otro marco de referencia inercial. La velocidad de la luz c en el vacío es constante y, redondeando, de 300,000 km/s. Cuando el reloj en movimiento registra un intervalo de tiempo de 1 s en su propio marco inercial (Δtm = 1 s), ¿cuál es el intervalo de tiempo para alguien que mira el reloj pasar a la velocidad de 260,000 km/s? Resolvamos la ecuación Δte = Δtm /√(1-v2/c2) paso a paso:

v/c = 260.000/300000 = 0,867

v2/c2 = [0,867]2 = 0,75

1 – 0,75 = 0,25

0,25 = 0,5

Por lo tanto, como Δtm = 1 s,

Δte = Δtm/ 0,5 = 1s /0,5 = 2 s

Este resultado dice que un reloj que se mueve a 260,000 km/s y que registra un intervalo de 1 s en su propio marco inercial, a un observador en reposo en relación con el reloj le parece que va muy lento. Mientras la persona que viaja con el reloj registra un intervalo de 1 s, el observador en reposo medirá (con respecto a su propio reloj) el doble de tiempo, 2 s. Recordemos que el reloj no parece ralentizarse en absoluto a la persona que se mueve con el reloj; pero para el observador externo el intervalo de tiempo se dilata considerablemente.

¿Qué sucede a velocidades ordinarias?

Es de señalar que en la situación anterior obtenemos un efecto de dilatación del tiempo de “solo” dos veces con una velocidad relativa de 260,000 km/s, casi el 87% de la velocidad de la luz. Para velocidades mucho más bajas, el efecto disminuye muy rápidamente, hasta que a velocidades ordinarias no es apreciable salvo en experimentos muy delicados.

Por ejemplo, veamos una situación de la vida real, digamos un reloj marcando un intervalo de 1 s dentro de un avión a reacción, volando a la velocidad del sonido de aproximadamente 0.331 km/s. ¿Cuál es el intervalo de tiempo correspondiente observado por una persona en reposo en tierra? Si repetimos la operativa, tenemos:

v/c = 0,331/300000 = 1,10 ·10-6

v2/c2 = [1,10 ·10-6]2 = 1,22 ·10-12

1 – 1,22 ·10-12 = 0,99999999999878

0,99999999999878 = 0,99999999999938

Por lo tanto, como Δtm = 1 s,

Δte = Δtm/ 0,99999999999938 = 1s /0,99999999999938 = 1,00000000000061 s

Con una cantidad tan increíblemente pequeña de dilatación del tiempo, no es de extrañar que este efecto nunca se hubiese observado antes. Debido a que el efecto es muy pequeño, la física de Newton todavía es útil para el mundo cotidiano de las velocidades normales para el que se construyó. Es falso afirmar (Einstein jamás dijo nada parecido) que la teoría de la invariancia [2] demuestre que la física de Newton deja de ser válida; tan falso como afirmar que los calibres (pies de rey) demuestren que los metros de carpintero no sirven, lo que ocurre es que sirven a determinada escala.

En cualquier caso, la dilatación del tiempo en los relojes en movimiento está ahí, y de hecho fue confirmada en un famoso experimento que involucraba un reloj atómico muy preciso que volaba alrededor del mundo en un avión de pasajeros. Si bien se vuelve significativo solo a velocidades relativas cerca de la velocidad de la luz, que es el caso en experimentos de laboratorio de alta energía y en algunos fenómenos astrofísicos, también es importante en medidas de precisión que toman mucho tiempo. Así, los satélites del sistema GPS se desplazan a 4 km/s, lo que representa una ralentización de 7 microsegundos por día, solo debido al efecto que hemos visto [3]; este efecto debe tenerse en cuenta en el diseño.

Notas:

[1] Estrictamente la raíz cuadrada de un número no es unívoca, no da un solo resultado, sino dos, uno positivo y otro negativo. Así la raíz cuadrada de 4 es tanto +2 como -2, ya que tanto (+2)·(+2) como (-2)·(-2) dan 4. En este caso descartamos la raíz negativa por carecer de sentido físico.

[2] Popularmente, teoría de la relatividad.

[3] Existe también un efecto debido a la relatividad general. Ambos efectos combinados harían que los observadores de la Tierra vieran los relojes de los satélites GPS 38 microsegundos por día más rápidos que los relojes en la Tierra (en el satélite la atracción gravitatoria es menor que en la superficie del planeta y el reloj “corre más” compensando el efecto debido a la velocidad relativa). Las posiciones calculadas por GPS se desviarían rápidamente, acumulándose unos nada despreciables ¡10 kilómetros por día!. Esto se corrige en el diseño del GPS.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

2 Comentarios

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La relatividad del tiempo (y 3) - Cuaderno de Cultura Científica

[…] hemos visto qué le sucede a velocidades muy altas y a velocidades ordinarias a la relación entre el intervalo […]

Anselmo LLancafil VeraAnselmo LLancafil Vera

Muy bueno el o los artículos , muy didáctico , entretenido e interesante.

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